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Beliebt Trigonometrie >

-sqrt(1-tan(x))=sec(x)

Lösung

- 1 - tan (x) = sec (x)

Lösung

x = πn

Grad

x = 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 1 - tan (x) = sec (x)

Quadriere beide Seiten

(- 1 - tan (x))^{2} = sec^{2} (x)

Subtrahiere

sec^{2} (x)

von beiden Seiten

1 - tan (x) - sec^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - sec^{2} (x) - tan (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

sec^{2} (x) - 1 = tan^{2} (x)

= - tan (x) - tan^{2} (x)

- tan (x) - tan^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- tan (x) - tan^{2} (x) = 0

Angenommen:

tan (x) = u

- u - u^{2} = 0

- u - u^{2} = 0 : u = - 1, u = 0

- u - u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} - u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = - 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 0 = 1

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 0

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 0 = 0

4 \cdot 1 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= 1 + 0

Addiere die Zahlen:

1 + 0 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 1}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 1 )} : - 1

\frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 1}{- 2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 1 )} : 0

\frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 1}{- 2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{2}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = 0

Setze in

u = tan (x)

ein

tan (x) = - 1, tan (x) = 0

tan (x) = - 1, tan (x) = 0

tan (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{4} + πn

tan (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

tan (x) = - 1

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

tan (x) = 0 : x = πn

tan (x) = 0

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 0

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = 0 + πn

x = 0 + πn

Löse

x = 0 + πn : x = πn

x = 0 + πn

0 + πn = πn

x = πn

x = πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{3 π}{4} + πn, x = πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

- 1 - tan (x) = sec (x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{4} + πn :

Falsch

\frac{3 π}{4} + πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{4} + π 1

Setze

x = \frac{3 π}{4} + π 1

- 1 - tan (x) = sec (x)

ein, um zu lösen

- 1 - tan (\frac{3 π}{4} + π 1) = sec (\frac{3 π}{4} + π 1)

Fasse zusammen

- 1.41421 \dots = 1.41421 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

πn :

Wahr

πn

Setze ein

n = 1

π 1

Setze

x = π 1

- 1 - tan (x) = sec (x)

ein, um zu lösen

- 1 - tan (π 1) = sec (π 1)

Fasse zusammen

- 1 = - 1

\Rightarrow Wahr

x = πn

Graph

Beliebte Beispiele

sec((3x)/2)=2

sec (\frac{3 x}{2}) = 2

cos(6x)=0

cos (6 x) = 0

sin^2(x)-cos^2(x)-cos(x)=0

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) - cos (x) = 0

sec^2(θ)+sec(θ)-2=0

sec^{2} (θ) + sec (θ) - 2 = 0

sec^2(x)=8cos(x)

sec^{2} (x) = 8 cos (x)