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Beliebt Trigonometrie >

sin(i)

Lösung

sin (i)

Lösung

i \frac{- 1 + e ^{2}}{2 e}

Schritte zur Lösung

sin (i)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

sin (0) cosh (1) + i cos (0) sinh (1)

sin (i)

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (a + bi) = sin (a) cosh (b) + i cos (a) sinh (b)

= sin (0) cosh (1) + i cos (0) sinh (1)

= sin (0) cosh (1) + i cos (0) sinh (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (0) = 0

sin (0)

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cosh (1) = \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

cosh (1)

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{1} + e ^{- 1}}{2}

\frac{e ^{1} + e ^{- 1}}{2} = \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

\frac{e ^{1} + e ^{- 1}}{2}

Wende Regel an

a^{1} = a

e^{1} = e

= \frac{e + e ^{- 1}}{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{e + \frac{1}{e}}{2}

Füge

e + \frac{1}{e}

zusammen:

\frac{e ^{2} + 1}{e}

e + \frac{1}{e}

Wandle das Element in einen Bruch um:

e = \frac{ee}{e}

= \frac{ee}{e} + \frac{1}{e}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{ee + 1}{e}

ee + 1 = e^{2} + 1

ee + 1

ee = e^{2}

ee

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ee = e^{1 + 1}

= e^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= e^{2}

= e^{2} + 1

= \frac{e ^{2} + 1}{e}

= \frac{\frac{e ^{2} + 1}{e}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{e ^{2} + 1}{e 2}

= \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (0) = 1

cos (0)

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

sinh (1) = \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

sinh (1)

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{1} - e ^{- 1}}{2}

\frac{e ^{1} - e ^{- 1}}{2} = \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

\frac{e ^{1} - e ^{- 1}}{2}

Wende Regel an

a^{1} = a

e^{1} = e

= \frac{e - e ^{- 1}}{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{e - \frac{1}{e}}{2}

Füge

e - \frac{1}{e}

zusammen:

\frac{e ^{2} - 1}{e}

e - \frac{1}{e}

Wandle das Element in einen Bruch um:

e = \frac{ee}{e}

= \frac{ee}{e} - \frac{1}{e}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{ee - 1}{e}

ee - 1 = e^{2} - 1

ee - 1

ee = e^{2}

ee

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ee = e^{1 + 1}

= e^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= e^{2}

= e^{2} - 1

= \frac{e ^{2} - 1}{e}

= \frac{\frac{e ^{2} - 1}{e}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{e ^{2} - 1}{e 2}

= \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

= 0 \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e} + i 1 \cdot \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

Vereinfache

0 \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e} + i 1 \cdot \frac{e ^{2} - 1}{2 e} : i \frac{- 1 + e ^{2}}{2 e}

0 \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e} + i 1 \cdot \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

0 \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e} = 0

0 \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

i 1 \cdot \frac{e ^{2} - 1}{2 e} = \frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

i 1 \cdot \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= 1 \cdot \frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

Multipliziere:

1 \cdot \frac{( e ^{2} - 1 ) i}{2 e} = \frac{( e ^{2} - 1 ) i}{2 e}

= \frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

= 0 + \frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

0 + \frac{( e ^{2} - 1 ) i}{2 e} = \frac{( e ^{2} - 1 ) i}{2 e}

= \frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

Schreibe

\frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{e ^{2} - 1}{2 e} i

\frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

Multipliziere aus

i (e^{2} - 1) : e^{2} i - i

i (e^{2} - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = i, b = e^{2}, c = 1

= i e^{2} - i 1

= e^{2} i - 1 i

Multipliziere:

1 i = i

= e^{2} i - i

= \frac{e ^{2} i - i}{2 e}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{e ^{2} i - i}{2 e} = \frac{e ^{2} i}{2 e} - \frac{i}{2 e}

= \frac{e ^{2} i}{2 e} - \frac{i}{2 e}

Streiche

\frac{e ^{2} i}{2 e} : \frac{e i}{2}

\frac{e ^{2} i}{2 e}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

e

= \frac{e i}{2}

= \frac{e i}{2} - \frac{i}{2 e}

Gruppiere den realen Teil und imaginären Teil der komplexen Zahl

= (\frac{e}{2} - \frac{1}{2 e}) i

\frac{e}{2} - \frac{1}{2 e} = \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

\frac{e}{2} - \frac{1}{2 e}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 2 e : 2 e

2, 2 e

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 2 : 2

2, 2

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

2

vorkommt

= 2

Multipliziere die Zahlen:

2 = 2

= 2

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

2

oder

2 e

auftauchen.

= 2 e

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

2 e

Für

\frac{e}{2} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

e

\frac{e}{2} = \frac{ee}{2 e} = \frac{e ^{2}}{2 e}

= \frac{e ^{2}}{2 e} - \frac{1}{2 e}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

= \frac{e ^{2} - 1}{2 e} i

= \frac{e ^{2} - 1}{2 e} i

= i \frac{- 1 + e ^{2}}{2 e}

Beliebte Beispiele