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Beliebt Trigonometrie >

9tan(2x)-9cot(x)=0

Lösung

9 tan (2 x) - 9 cot (x) = 0

Lösung

x = 0.52359 \dots + πn, x = - 0.52359 \dots + πn

Grad

x = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

9 tan (2 x) - 9 cot (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 9 cot (x) + 9 tan (2 x)

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

tan (2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

Faktorisiere

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} : \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

Faktorisiere

1 - tan^{2} (x) : (1 + tan (x)) (1 - tan (x))

1 - tan^{2} (x)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

1 - tan^{2} (x) = (1 + tan (x)) (1 - tan (x))

= (1 + tan (x)) (1 - tan (x))

= \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

= \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

= - 9 cot (x) + 9 \cdot \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

9 \cdot \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )} = \frac{18 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

9 \cdot \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 tan ( x ) \cdot 9}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{18 tan ( x )}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )}

= - 9 cot (x) + \frac{18 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{1}{tan ( x )}

= \frac{18 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )} - 9 \cdot \frac{1}{tan ( x )}

Vereinfache

\frac{18 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )} - 9 \cdot \frac{1}{tan ( x )} : - \frac{27 tan ^{2} ( x ) - 9}{tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

\frac{18 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )} - 9 \cdot \frac{1}{tan ( x )}

9 \cdot \frac{1}{tan ( x )} = \frac{9}{tan ( x )}

9 \cdot \frac{1}{tan ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 9}{tan ( x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 9 = 9

= \frac{9}{tan ( x )}

= \frac{18 tan ( x )}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )} - \frac{9}{tan ( x )}

Faktorisiere

(1 + tan (x)) (1 - tan (x)) : - (1 + tan (x)) (tan (x) - 1)

(1 + tan (x)) (1 - tan (x))

Faktorisiere

1 - tan (x) : - (tan (x) - 1)

1 - tan (x)

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (tan (x) - 1)

= - (1 + tan (x)) (tan (x) - 1)

= \frac{18 tan ( x )}{- ( 1 + tan ( x ) ) ( tan ( x ) - 1 )} - \frac{9}{tan ( x )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

- (1 + tan (x)) (tan (x) - 1), tan (x) : - tan (x) (tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

- (1 + tan (x)) (tan (x) - 1), tan (x)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

- (1 + tan (x)) (tan (x) - 1)

oder

tan (x)

auftauchen.

= - tan (x) (tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

- tan (x) (tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

Für

\frac{18 tan ( x )}{- ( 1 + tan ( x ) ) ( tan ( x ) - 1 )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

tan (x)

\frac{18 tan ( x )}{- ( 1 + tan ( x ) ) ( tan ( x ) - 1 )} = \frac{18 tan ( x ) tan ( x )}{( - ( 1 + tan ( x ) ) ( tan ( x ) - 1 ) ) tan ( x )} = \frac{18 tan ^{2} ( x )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

Für

\frac{9}{tan ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

- (tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

\frac{9}{tan ( x )} = \frac{9 ( - ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 ) )}{tan ( x ) ( - ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 ) )} = \frac{- 9 ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

= \frac{18 tan ^{2} ( x )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )} - \frac{- 9 ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{18 tan ^{2} ( x ) - ( - 9 ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 ) )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

Fasse zusammen

= - \frac{18 tan ^{2} ( x ) + 9 ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}{tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

Multipliziere aus

18 tan^{2} (x) + 9 (tan (x) + 1) (tan (x) - 1) : 27 tan^{2} (x) - 9

18 tan^{2} (x) + 9 (tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

Multipliziere aus

9 (tan (x) + 1) (tan (x) - 1) : 9 tan^{2} (x) - 9

Multipliziere aus

(tan (x) + 1) (tan (x) - 1) : tan^{2} (x) - 1

(tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = tan (x), b = 1

= tan^{2} (x) - 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= tan^{2} (x) - 1

= 9 (tan^{2} (x) - 1)

Multipliziere aus

9 (tan^{2} (x) - 1) : 9 tan^{2} (x) - 9

9 (tan^{2} (x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = tan^{2} (x), c = 1

= 9 tan^{2} (x) - 9 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 9 tan^{2} (x) - 9

= 9 tan^{2} (x) - 9

= 18 tan^{2} (x) + 9 tan^{2} (x) - 9

Addiere gleiche Elemente:

18 tan^{2} (x) + 9 tan^{2} (x) = 27 tan^{2} (x)

= 27 tan^{2} (x) - 9

= - \frac{27 tan ^{2} ( x ) - 9}{tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

= - \frac{27 tan ^{2} ( x ) - 9}{tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

- \frac{- 9 + 27 tan ^{2} ( x )}{( - 1 + tan ( x ) ) ( 1 + tan ( x ) ) tan ( x )} = 0

Löse mit Substitution

- \frac{- 9 + 27 tan ^{2} ( x )}{( - 1 + tan ( x ) ) ( 1 + tan ( x ) ) tan ( x )} = 0

Angenommen:

tan (x) = u

- \frac{- 9 + 27 u ^{2}}{( - 1 + u ) ( 1 + u ) u} = 0

- \frac{- 9 + 27 u ^{2}}{( - 1 + u ) ( 1 + u ) u} = 0 : u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

- \frac{- 9 + 27 u ^{2}}{( - 1 + u ) ( 1 + u ) u} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 9 + 27 u^{2} = 0

Löse

- 9 + 27 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

- 9 + 27 u^{2} = 0

Verschiebe

9

auf die rechte Seite

- 9 + 27 u^{2} = 0

Füge

9

zu beiden Seiten hinzu

- 9 + 27 u^{2} + 9 = 0 + 9

Vereinfache

27 u^{2} = 9

27 u^{2} = 9

Teile beide Seiten durch

27

27 u^{2} = 9

Teile beide Seiten durch

27

\frac{27 u ^{2}}{27} = \frac{9}{27}

Vereinfache

u^{2} = \frac{1}{3}

u^{2} = \frac{1}{3}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 1, u = - 1, u = 0

Nimm den/die Nenner von

- \frac{- 9 + 27 u ^{2}}{( - 1 + u ) ( 1 + u ) u}

und vergleiche mit Null

Löse

(- 1 + u) (1 + u) u = 0 : u = 1, u = - 1, u = 0

(- 1 + u) (1 + u) u = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

- 1 + u = 0 or 1 + u = 0 or u = 0

Löse

- 1 + u = 0 : u = 1

- 1 + u = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- 1 + u = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

- 1 + u + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Löse

1 + u = 0 : u = - 1

1 + u = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + u = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + u - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Die Lösungen sind

u = 1, u = - 1, u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 1, u = - 1, u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

Setze in

u = tan (x)

ein

tan (x) = \frac{1}{3}, tan (x) = - \frac{1}{3}

tan (x) = \frac{1}{3}, tan (x) = - \frac{1}{3}

tan (x) = \frac{1}{3} : x = arctan (\frac{1}{3}) + πn

tan (x) = \frac{1}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = \frac{1}{3}

Allgemeine Lösung für

tan (x) = \frac{1}{3}

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (\frac{1}{3}) + πn

x = arctan (\frac{1}{3}) + πn

tan (x) = - \frac{1}{3} : x = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

tan (x) = - \frac{1}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = - \frac{1}{3}

Allgemeine Lösung für

tan (x) = - \frac{1}{3}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

x = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arctan (\frac{1}{3}) + πn, x = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.52359 \dots + πn, x = - 0.52359 \dots + πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(2x)=2sin^2(x)

sin (2 x) = 2 sin^{2} (x)

sin(x)sec(x)=sin(x)

sin (x) sec (x) = sin (x)

cos(x)+2=0

cos (x) + 2 = 0

(2tan(3x))/(1-tan^2(3x))=1

\frac{2 tan ( 3 x )}{1 - tan ^{2} ( 3 x )} = 1

sin(x)=(sqrt(3))/3

sin (x) = \frac{3}{3}