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Popular Trigonometria >

9tan(2x)-9cot(x)=0

Solução

9 tan (2 x) - 9 cot (x) = 0

Solução

x = 0.52359 \dots + πn, x = - 0.52359 \dots + πn

Graus

x = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Passos da solução

9 tan (2 x) - 9 cot (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 9 cot (x) + 9 tan (2 x)

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

tan (2 x)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

Fatorar

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} : \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

Fatorar

1 - tan^{2} (x) : (1 + tan (x)) (1 - tan (x))

1 - tan^{2} (x)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

1 - tan^{2} (x) = (1 + tan (x)) (1 - tan (x))

= (1 + tan (x)) (1 - tan (x))

= \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

= \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

= - 9 cot (x) + 9 \cdot \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

9 \cdot \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )} = \frac{18 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

9 \cdot \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 tan ( x ) \cdot 9}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

Multiplicar os números:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{18 tan ( x )}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )}

= - 9 cot (x) + \frac{18 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{1}{tan ( x )}

= \frac{18 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )} - 9 \cdot \frac{1}{tan ( x )}

Simplificar

\frac{18 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )} - 9 \cdot \frac{1}{tan ( x )} : - \frac{27 tan ^{2} ( x ) - 9}{tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

\frac{18 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )} - 9 \cdot \frac{1}{tan ( x )}

9 \cdot \frac{1}{tan ( x )} = \frac{9}{tan ( x )}

9 \cdot \frac{1}{tan ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 9}{tan ( x )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 9 = 9

= \frac{9}{tan ( x )}

= \frac{18 tan ( x )}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )} - \frac{9}{tan ( x )}

Fatorar

(1 + tan (x)) (1 - tan (x)) : - (1 + tan (x)) (tan (x) - 1)

(1 + tan (x)) (1 - tan (x))

Fatorar

1 - tan (x) : - (tan (x) - 1)

1 - tan (x)

Fatorar o termo comum

- 1

= - (tan (x) - 1)

= - (1 + tan (x)) (tan (x) - 1)

= \frac{18 tan ( x )}{- ( 1 + tan ( x ) ) ( tan ( x ) - 1 )} - \frac{9}{tan ( x )}

Mínimo múltiplo comum de

- (1 + tan (x)) (tan (x) - 1), tan (x) : - tan (x) (tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

- (1 + tan (x)) (tan (x) - 1), tan (x)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

- (1 + tan (x)) (tan (x) - 1)

quanto em

tan (x)

= - tan (x) (tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{18 tan ( x )}{- ( 1 + tan ( x ) ) ( tan ( x ) - 1 )} :

multiplique o numerador e o denominador por

tan (x)

\frac{18 tan ( x )}{- ( 1 + tan ( x ) ) ( tan ( x ) - 1 )} = \frac{18 tan ( x ) tan ( x )}{( - ( 1 + tan ( x ) ) ( tan ( x ) - 1 ) ) tan ( x )} = \frac{18 tan ^{2} ( x )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

Para

\frac{9}{tan ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

- (tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

\frac{9}{tan ( x )} = \frac{9 ( - ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 ) )}{tan ( x ) ( - ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 ) )} = \frac{- 9 ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

= \frac{18 tan ^{2} ( x )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )} - \frac{- 9 ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{18 tan ^{2} ( x ) - ( - 9 ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 ) )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

Simplificar

= - \frac{18 tan ^{2} ( x ) + 9 ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}{tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

Expandir

18 tan^{2} (x) + 9 (tan (x) + 1) (tan (x) - 1) : 27 tan^{2} (x) - 9

18 tan^{2} (x) + 9 (tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

Expandir

9 (tan (x) + 1) (tan (x) - 1) : 9 tan^{2} (x) - 9

Expandir

(tan (x) + 1) (tan (x) - 1) : tan^{2} (x) - 1

(tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = tan (x), b = 1

= tan^{2} (x) - 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= tan^{2} (x) - 1

= 9 (tan^{2} (x) - 1)

Expandir

9 (tan^{2} (x) - 1) : 9 tan^{2} (x) - 9

9 (tan^{2} (x) - 1)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = tan^{2} (x), c = 1

= 9 tan^{2} (x) - 9 \cdot 1

Multiplicar os números:

9 \cdot 1 = 9

= 9 tan^{2} (x) - 9

= 9 tan^{2} (x) - 9

= 18 tan^{2} (x) + 9 tan^{2} (x) - 9

Somar elementos similares:

18 tan^{2} (x) + 9 tan^{2} (x) = 27 tan^{2} (x)

= 27 tan^{2} (x) - 9

= - \frac{27 tan ^{2} ( x ) - 9}{tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

= - \frac{27 tan ^{2} ( x ) - 9}{tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

- \frac{- 9 + 27 tan ^{2} ( x )}{( - 1 + tan ( x ) ) ( 1 + tan ( x ) ) tan ( x )} = 0

Usando o método de substituição

- \frac{- 9 + 27 tan ^{2} ( x )}{( - 1 + tan ( x ) ) ( 1 + tan ( x ) ) tan ( x )} = 0

Sea:

tan (x) = u

- \frac{- 9 + 27 u ^{2}}{( - 1 + u ) ( 1 + u ) u} = 0

- \frac{- 9 + 27 u ^{2}}{( - 1 + u ) ( 1 + u ) u} = 0 : u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

- \frac{- 9 + 27 u ^{2}}{( - 1 + u ) ( 1 + u ) u} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 9 + 27 u^{2} = 0

Resolver

- 9 + 27 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

- 9 + 27 u^{2} = 0

Mova

9

para o lado direito

- 9 + 27 u^{2} = 0

Adicionar

9

a ambos os lados

- 9 + 27 u^{2} + 9 = 0 + 9

Simplificar

27 u^{2} = 9

27 u^{2} = 9

Dividir ambos os lados por

27

27 u^{2} = 9

Dividir ambos os lados por

27

\frac{27 u ^{2}}{27} = \frac{9}{27}

Simplificar

u^{2} = \frac{1}{3}

u^{2} = \frac{1}{3}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 1, u = - 1, u = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

- \frac{- 9 + 27 u ^{2}}{( - 1 + u ) ( 1 + u ) u}

e comparar com zero

Resolver

(- 1 + u) (1 + u) u = 0 : u = 1, u = - 1, u = 0

(- 1 + u) (1 + u) u = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

- 1 + u = 0 or 1 + u = 0 or u = 0

Resolver

- 1 + u = 0 : u = 1

- 1 + u = 0

Mova

1

para o lado direito

- 1 + u = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

- 1 + u + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

Resolver

1 + u = 0 : u = - 1

1 + u = 0

Mova

1

para o lado direito

1 + u = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 + u - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

As soluções são

u = 1, u = - 1, u = 0

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 1, u = - 1, u = 0

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

Substituir na equação

u = tan (x)

tan (x) = \frac{1}{3}, tan (x) = - \frac{1}{3}

tan (x) = \frac{1}{3}, tan (x) = - \frac{1}{3}

tan (x) = \frac{1}{3} : x = arctan (\frac{1}{3}) + πn

tan (x) = \frac{1}{3}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

tan (x) = \frac{1}{3}

Soluções gerais para

tan (x) = \frac{1}{3}

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (\frac{1}{3}) + πn

x = arctan (\frac{1}{3}) + πn

tan (x) = - \frac{1}{3} : x = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

tan (x) = - \frac{1}{3}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

tan (x) = - \frac{1}{3}

Soluções gerais para

tan (x) = - \frac{1}{3}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

x = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

Combinar toda as soluções

x = arctan (\frac{1}{3}) + πn, x = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 0.52359 \dots + πn, x = - 0.52359 \dots + πn

Gráfico

Exemplos populares

sin(2x)=2sin^2(x)

sin (2 x) = 2 sin^{2} (x)

sin(x)sec(x)=sin(x)

sin (x) sec (x) = sin (x)

cos(x)+2=0

cos (x) + 2 = 0

(2tan(3x))/(1-tan^2(3x))=1

\frac{2 tan ( 3 x )}{1 - tan ^{2} ( 3 x )} = 1

sin(x)=(sqrt(3))/3

sin (x) = \frac{3}{3}