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Popular Trigonometría >

(2tan(3x))/(1-tan^2(3x))=1

Solución

\frac{2 tan ( 3 x )}{1 - tan ^{2} ( 3 x )} = 1

Solución

x = - \frac{1.17809 \dots}{3} + \frac{πn}{3}, x = \frac{0.39269 \dots}{3} + \frac{πn}{3}

Grados

x = - 22. 5^{\circ} + 6 0^{\circ} n, x = 7. 5^{\circ} + 6 0^{\circ} n

Pasos de solución

\frac{2 tan ( 3 x )}{1 - tan ^{2} ( 3 x )} = 1

Usando el método de sustitución

\frac{2 tan ( 3 x )}{1 - tan ^{2} ( 3 x )} = 1

Sea:

tan (3 x) = u

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} = 1

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} = 1 : u = - 1 - 2, u = 2 - 1

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} = 1

Multiplicar ambos lados por

1 - u^{2}

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} = 1

Multiplicar ambos lados por

1 - u^{2}

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) = 1 \cdot (1 - u^{2})

Simplificar

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) = 1 \cdot (1 - u^{2})

Simplificar

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) : 2 u

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2})

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u ( 1 - u ^{2} )}{1 - u ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

1 - u^{2}

= 2 u

Simplificar

1 \cdot (1 - u^{2}) : 1 - u^{2}

1 \cdot (1 - u^{2})

Multiplicar:

1 \cdot (1 - u^{2}) = (1 - u^{2})

= (1 - u^{2})

Quitar los parentesis:

(a) = a

= 1 - u^{2}

2 u = 1 - u^{2}

2 u = 1 - u^{2}

2 u = 1 - u^{2}

Resolver

2 u = 1 - u^{2} : u = - 1 - 2, u = 2 - 1

2 u = 1 - u^{2}

Intercambiar lados

1 - u^{2} = 2 u

Desplace

2 u

a la izquierda

1 - u^{2} = 2 u

Restar

2 u

de ambos lados

1 - u^{2} - 2 u = 2 u - 2 u

Simplificar

1 - u^{2} - 2 u = 0

1 - u^{2} - 2 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - 2 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- u^{2} - 2 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 1, b = - 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 22

(- 2)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Sumar:

4 + 4 = 8

= 8

Descomposición en factores primos de

8 : 2^{3}

8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 2}{2 ( - 1 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 ( - 1 )} : - 1 - 2

\frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 + 2 2}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 + 2 2}{2}

Cancelar

\frac{2 + 2 2}{2} : 1 + 2

\frac{2 + 2 2}{2}

Factorizar

2 + 22 : 2 (1 + 2)

2 + 22

Reescribir como

= 2 \cdot 1 + 22

Factorizar el termino común

2

= 2 (1 + 2)

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 2

= - (1 + 2)

Poner los parentesis

= - (1) - (2)

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 1 - 2

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 ( - 1 )} : 2 - 1

\frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 - 2 2}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

2 - 22 = - (22 - 2)

= \frac{2 2 - 2}{2}

Factorizar

22 - 2 : 2 (2 - 1)

22 - 2

Reescribir como

= 22 - 2 \cdot 1

Factorizar el termino común

2

= 2 (2 - 1)

= \frac{2 ( 2 - 1 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 2 - 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - 1 - 2, u = 2 - 1

u = - 1 - 2, u = 2 - 1

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 1, u = - 1

Tomar el(los) denominador(es) de

\frac{2 u}{1 - u ^{2}}

y comparar con cero

Resolver

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Desplace

1

a la derecha

1 - u^{2} = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Simplificar

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

- u^{2} = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplificar

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Los siguientes puntos no están definidos

u = 1, u = - 1

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = - 1 - 2, u = 2 - 1

Sustituir en la ecuación

u = tan (3 x)

tan (3 x) = - 1 - 2, tan (3 x) = 2 - 1

tan (3 x) = - 1 - 2, tan (3 x) = 2 - 1

tan (3 x) = - 1 - 2 : x = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}

tan (3 x) = - 1 - 2

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

tan (3 x) = - 1 - 2

Soluciones generales para

tan (3 x) = - 1 - 2

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

3 x = arctan (- 1 - 2) + πn

3 x = arctan (- 1 - 2) + πn

Resolver

3 x = arctan (- 1 - 2) + πn : x = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}

3 x = arctan (- 1 - 2) + πn

Simplificar

arctan (- 1 - 2) + πn : - arctan (1 + 2) + πn

arctan (- 1 - 2) + πn

Utilizar la siguiente propiedad:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- 1 - 2) = - arctan (1 + 2)

= - arctan (1 + 2) + πn

3 x = - arctan (1 + 2) + πn

Dividir ambos lados entre

3

3 x = - arctan (1 + 2) + πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 x}{3} = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}

Simplificar

x = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}

x = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}

x = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}

tan (3 x) = 2 - 1 : x = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

tan (3 x) = 2 - 1

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

tan (3 x) = 2 - 1

Soluciones generales para

tan (3 x) = 2 - 1

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

3 x = arctan (2 - 1) + πn

3 x = arctan (2 - 1) + πn

Resolver

3 x = arctan (2 - 1) + πn : x = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

3 x = arctan (2 - 1) + πn

Dividir ambos lados entre

3

3 x = arctan (2 - 1) + πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 x}{3} = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

Simplificar

x = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

x = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

x = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

Combinar toda las soluciones

x = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}, x = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

Mostrar soluciones en forma decimal

x = - \frac{1.17809 \dots}{3} + \frac{πn}{3}, x = \frac{0.39269 \dots}{3} + \frac{πn}{3}

Gráfica

Ejemplos populares

sin(x)=(sqrt(3))/3

cos(2θ)=-1/2 ,0<= θ<2pi

tan(x)tan(2x)=1

2sin^2(x)+7sin(x)=4

2sqrt(2)cos(θ)+4=6