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Beliebt Trigonometrie >

-2cos(2θ)+9cos(θ)+4=cos(θ)+1

Lösung

- 2 cos (2 θ) + 9 cos (θ) + 4 = cos (θ) + 1

Lösung

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 2 cos (2 θ) + 9 cos (θ) + 4 = cos (θ) + 1

Subtrahiere

cos (θ) + 1

von beiden Seiten

8 cos (θ) - 2 cos (2 θ) + 3 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 - 2 cos (2 θ) + 8 cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 3 - 2 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 8 cos (θ)

Vereinfache

3 - 2 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 8 cos (θ) : 8 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 5

3 - 2 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 8 cos (θ)

Multipliziere aus

- 2 (2 cos^{2} (θ) - 1) : - 4 cos^{2} (θ) + 2

- 2 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= - 2 \cdot 2 cos^{2} (θ) - (- 2) \cdot 1

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 2 cos^{2} (θ) + 2 \cdot 1

Vereinfache

- 2 \cdot 2 cos^{2} (θ) + 2 \cdot 1 : - 4 cos^{2} (θ) + 2

- 2 \cdot 2 cos^{2} (θ) + 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= - 4 cos^{2} (θ) + 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= - 4 cos^{2} (θ) + 2

= - 4 cos^{2} (θ) + 2

= 3 - 4 cos^{2} (θ) + 2 + 8 cos (θ)

Vereinfache

3 - 4 cos^{2} (θ) + 2 + 8 cos (θ) : 8 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 5

3 - 4 cos^{2} (θ) + 2 + 8 cos (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 4 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) + 3 + 2

Addiere die Zahlen:

3 + 2 = 5

= 8 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 5

= 8 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 5

= 8 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 5

5 - 4 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

5 - 4 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

5 - 4 u^{2} + 8 u = 0

5 - 4 u^{2} + 8 u = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = \frac{5}{2}

5 - 4 u^{2} + 8 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 8 u + 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} + 8 u + 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = 8, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 5}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 5}{2 ( - 4 )}

8^{2} - 4 (- 4) \cdot 5 = 12

8^{2} - 4 (- 4) \cdot 5

Wende Regel an

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 5 = 80

= 8^{2} + 80

8^{2} = 64

= 64 + 80

Addiere die Zahlen:

64 + 80 = 144

= 144

Faktorisiere die Zahl:

144 = 1 2^{2}

= 1 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 2^{2} = 12

= 12

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 12}{2 ( - 4 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 8 + 12}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- 8 - 12}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 8 + 12}{2 ( - 4 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 8 + 12}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 8 + 12}{- 2 \cdot 4}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 8 + 12 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 8 - 12}{2 ( - 4 )} : \frac{5}{2}

\frac{- 8 - 12}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 8 - 12}{- 2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

- 8 - 12 = - 20

= \frac{- 20}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 20}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{20}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{5}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2}, u = \frac{5}{2}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - \frac{1}{2}, cos (θ) = \frac{5}{2}

cos (θ) = - \frac{1}{2}, cos (θ) = \frac{5}{2}

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = \frac{5}{2} :

Keine Lösung

cos (θ) = \frac{5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

csc^2(2x)-cot(2x)=1

csc^{2} (2 x) - cot (2 x) = 1

100tan(x)-8=50tan(x)

100 tan (x) - 8 = 50 tan (x)

cos(θ)+sin(θ)=1

cos (θ) + sin (θ) = 1

2cos(3x)=-1

2 cos (3 x) = - 1

6sin(θ/2)=-6cos(θ/2)

6 sin (\frac{θ}{2}) = - 6 cos (\frac{θ}{2})