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人気のある三角関数 >

cos(x)+3sin(x)=1

解

cos (x) + 3 sin (x) = 1

解

x = 2 πn, x = π - 0.64350 \dots + 2 πn

+1

度

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 143.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

cos (x) + 3 sin (x) = 1

両辺から

3 sin (x)

を引く

cos (x) = 1 - 3 sin (x)

両辺を2乗する

cos^{2} (x) = (1 - 3 sin (x))^{2}

両辺から

(1 - 3 sin (x))^{2}

を引く

cos^{2} (x) - 1 + 6 sin (x) - 9 sin^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 1 + cos^{2} (x) + 6 sin (x) - 9 sin^{2} (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= 6 sin (x) - 9 sin^{2} (x) - sin^{2} (x)

簡素化

= 6 sin (x) - 10 sin^{2} (x)

- 10 sin^{2} (x) + 6 sin (x) = 0

置換で解く

- 10 sin^{2} (x) + 6 sin (x) = 0

仮定:

sin (x) = u

- 10 u^{2} + 6 u = 0

- 10 u^{2} + 6 u = 0 : u = 0, u = \frac{3}{5}

- 10 u^{2} + 6 u = 0

解くとthe二次式

- 10 u^{2} + 6 u = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 10, b = 6, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 0}{2 ( - 10 )}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 0}{2 ( - 10 )}

6^{2} - 4 (- 10) \cdot 0 = 6

6^{2} - 4 (- 10) \cdot 0

規則を適用

- (- a) = a

= 6^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 0

規則を適用

0 \cdot a = 0

= 6^{2} + 0

6^{2} + 0 = 6^{2}

= 6^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a,

, 以下を想定

a \geq 0

= 6

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6}{2 ( - 10 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 6 + 6}{2 ( - 10 )}, u_{2} = \frac{- 6 - 6}{2 ( - 10 )}

u = \frac{- 6 + 6}{2 ( - 10 )} : 0

\frac{- 6 + 6}{2 ( - 10 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 6 + 6}{- 2 \cdot 10}

数を足す/引く:

- 6 + 6 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 10}

数を乗じる:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{0}{- 20}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{20}

規則を適用

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 6 - 6}{2 ( - 10 )} : \frac{3}{5}

\frac{- 6 - 6}{2 ( - 10 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 6 - 6}{- 2 \cdot 10}

数を引く:

- 6 - 6 = - 12

= \frac{- 12}{- 2 \cdot 10}

数を乗じる:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 12}{- 20}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{12}{20}

共通因数を約分する:

4

= \frac{3}{5}

二次equationの解:

u = 0, u = \frac{3}{5}

代用を戻す

u = sin (x)

sin (x) = 0, sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = 0, sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

以下の一般解

sin (x) = 0

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

解く

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{5} : x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{5}

三角関数の逆数プロパティを適用する

sin (x) = \frac{3}{5}

以下の一般解

sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

cos (x) + 3 sin (x) = 1

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

2 πn :

真

2 πn

挿入

n = 1

2 π 1

cos (x) + 3 sin (x) = 1

の挿入向け

x = 2 π 1

cos (2 π 1) + 3 sin (2 π 1) = 1

改良

1 = 1

\Rightarrow 真

解答を確認する

π + 2 πn :

偽

π + 2 πn

挿入

n = 1

π + 2 π 1

cos (x) + 3 sin (x) = 1

の挿入向け

x = π + 2 π 1

cos (π + 2 π 1) + 3 sin (π + 2 π 1) = 1

改良

- 1 = 1

\Rightarrow 偽

解答を確認する

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn :

偽

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

挿入

n = 1

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

cos (x) + 3 sin (x) = 1

の挿入向け

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

cos (arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) + 3 sin (arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = 1

改良

2.6 = 1

\Rightarrow 偽

解答を確認する

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn :

真

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

挿入

n = 1

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

cos (x) + 3 sin (x) = 1

の挿入向け

x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

cos (π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) + 3 sin (π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = 1

改良

1 = 1

\Rightarrow 真

x = 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = 2 πn, x = π - 0.64350 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

2sin^2(x)=4sin(x)+6

2 sin^{2} (x) = 4 sin (x) + 6

cos (x) = sin (1 5^{\circ})

3 = 3 tan (x)

2 cot (x) + 1 = - 1

sin(θ)= 3/5 ,cos(θ)

sin (θ) = \frac{3}{5}, cos (θ)