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Beliebt Trigonometrie >

cos(x)+3sin(x)=1

Lösung

cos (x) + 3 sin (x) = 1

Lösung

x = 2 πn, x = π - 0.64350 \dots + 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 143.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (x) + 3 sin (x) = 1

Subtrahiere

3 sin (x)

von beiden Seiten

cos (x) = 1 - 3 sin (x)

Quadriere beide Seiten

cos^{2} (x) = (1 - 3 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(1 - 3 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

cos^{2} (x) - 1 + 6 sin (x) - 9 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cos^{2} (x) + 6 sin (x) - 9 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= 6 sin (x) - 9 sin^{2} (x) - sin^{2} (x)

Vereinfache

= 6 sin (x) - 10 sin^{2} (x)

- 10 sin^{2} (x) + 6 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

- 10 sin^{2} (x) + 6 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 10 u^{2} + 6 u = 0

- 10 u^{2} + 6 u = 0 : u = 0, u = \frac{3}{5}

- 10 u^{2} + 6 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 10 u^{2} + 6 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 10, b = 6, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 0}{2 ( - 10 )}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 0}{2 ( - 10 )}

6^{2} - 4 (- 10) \cdot 0 = 6

6^{2} - 4 (- 10) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= 6^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 6^{2} + 0

6^{2} + 0 = 6^{2}

= 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 6

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6}{2 ( - 10 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 6 + 6}{2 ( - 10 )}, u_{2} = \frac{- 6 - 6}{2 ( - 10 )}

u = \frac{- 6 + 6}{2 ( - 10 )} : 0

\frac{- 6 + 6}{2 ( - 10 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 6 + 6}{- 2 \cdot 10}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 6 + 6 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{0}{- 20}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{20}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 6 - 6}{2 ( - 10 )} : \frac{3}{5}

\frac{- 6 - 6}{2 ( - 10 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 6 - 6}{- 2 \cdot 10}

Subtrahiere die Zahlen:

- 6 - 6 = - 12

= \frac{- 12}{- 2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 12}{- 20}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{12}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{3}{5}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 0, u = \frac{3}{5}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = 0, sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = 0, sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{5} : x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{3}{5}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

cos (x) + 3 sin (x) = 1

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Wahr

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

x = 2 π 1

cos (x) + 3 sin (x) = 1

ein, um zu lösen

cos (2 π 1) + 3 sin (2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Falsch

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

x = π + 2 π 1

cos (x) + 3 sin (x) = 1

ein, um zu lösen

cos (π + 2 π 1) + 3 sin (π + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

- 1 = 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn :

Falsch

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

cos (x) + 3 sin (x) = 1

ein, um zu lösen

cos (arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) + 3 sin (arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

2.6 = 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn :

Wahr

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

cos (x) + 3 sin (x) = 1

ein, um zu lösen

cos (π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) + 3 sin (π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

x = 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2 πn, x = π - 0.64350 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2sin^2(x)=4sin(x)+6

2 sin^{2} (x) = 4 sin (x) + 6

cos(x)=sin(15)

cos (x) = sin (1 5^{\circ})

3=3tan(x)

3 = 3 tan (x)

2cot(x)+1=-1

2 cot (x) + 1 = - 1

sin(θ)= 3/5 ,cos(θ)

sin (θ) = \frac{3}{5}, cos (θ)