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Beliebt Trigonometrie >

2-cos(θ)=2sin^2(θ)

Lösung

2 - cos (θ) = 2 sin^{2} (θ)

Lösung

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grad

θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 - cos (θ) = 2 sin^{2} (θ)

Subtrahiere

2 sin^{2} (θ)

von beiden Seiten

2 - cos (θ) - 2 sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 - cos (θ) - 2 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 2 - cos (θ) - 2 (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

2 - cos (θ) - 2 (1 - cos^{2} (θ)) : 2 cos^{2} (θ) - cos (θ)

2 - cos (θ) - 2 (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 2 (1 - cos^{2} (θ)) : - 2 + 2 cos^{2} (θ)

- 2 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 2 \cdot 1 - (- 2) cos^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 cos^{2} (θ)

= 2 - cos (θ) - 2 + 2 cos^{2} (θ)

Vereinfache

2 - cos (θ) - 2 + 2 cos^{2} (θ) : 2 cos^{2} (θ) - cos (θ)

2 - cos (θ) - 2 + 2 cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) + 2 - 2

2 - 2 = 0

= 2 cos^{2} (θ) - cos (θ)

= 2 cos^{2} (θ) - cos (θ)

= 2 cos^{2} (θ) - cos (θ)

- cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- u + 2 u^{2} = 0

- u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = 0

- u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 1

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 0 = 0

4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= 1 - 0

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 0 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 1}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 1}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 1}{2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

u = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 \cdot 2} : 0

\frac{- ( - 1 ) - 1}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 1}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 1 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{4}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2}, u = 0

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{1}{2}, cos (θ) = 0

cos (θ) = \frac{1}{2}, cos (θ) = 0

cos (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(2x-pi/6)=1,0<= x<= 2pi

tan (2 x - \frac{π}{6}) = 1, 0 \leq x \leq 2 π

cos(kpi)=-1

cos (kπ) = - 1

sin(y)=1

sin (y) = 1

cos(x-pi/3)= 1/2

cos (x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

tan(x)= 7/5

tan (x) = \frac{7}{5}