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Populaire Trigonométrie >

2sin^2(x)+1=4sin(x)

Solution

2 sin^{2} (x) + 1 = 4 sin (x)

Solution

x = 0.29725 \dots + 2 πn, x = π - 0.29725 \dots + 2 πn

Degrés

x = 17.03124 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 162.96875 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 sin^{2} (x) + 1 = 4 sin (x)

Résoudre par substitution

2 sin^{2} (x) + 1 = 4 sin (x)

Soit :

sin (x) = u

2 u^{2} + 1 = 4 u

2 u^{2} + 1 = 4 u : u = \frac{2 + 2}{2}, u = \frac{2 - 2}{2}

2 u^{2} + 1 = 4 u

Déplacer

4 u

vers la gauche

2 u^{2} + 1 = 4 u

Soustraire

4 u

des deux côtés

2 u^{2} + 1 - 4 u = 4 u - 4 u

Simplifier

2 u^{2} + 1 - 4 u = 0

2 u^{2} + 1 - 4 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 4 u + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

2 u^{2} - 4 u + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 2, b = - 4, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 22

(- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 4^{2} - 8

4^{2} = 16

= 16 - 8

Soustraire les nombres :

16 - 8 = 8

= 8

Factorisation première de

8 : 2^{3}

8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Appliquer la règle des radicaux:

= 2 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 2 2}{2 \cdot 2}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 2 2}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 2 2}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 4 ) + 2 2}{2 \cdot 2} : \frac{2 + 2}{2}

\frac{- ( - 4 ) + 2 2}{2 \cdot 2}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{4 + 2 2}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4 + 2 2}{4}

Factoriser

4 + 22 : 2 (2 + 2)

4 + 22

Récrire comme

= 2 \cdot 2 + 22

Factoriser le terme commun

2

= 2 (2 + 2)

= \frac{2 ( 2 + 2 )}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{2 + 2}{2}

u = \frac{- ( - 4 ) - 2 2}{2 \cdot 2} : \frac{2 - 2}{2}

\frac{- ( - 4 ) - 2 2}{2 \cdot 2}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{4 - 2 2}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4 - 2 2}{4}

Factoriser

4 - 22 : 2 (2 - 2)

4 - 22

Récrire comme

= 2 \cdot 2 - 22

Factoriser le terme commun

2

= 2 (2 - 2)

= \frac{2 ( 2 - 2 )}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{2 - 2}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{2 + 2}{2}, u = \frac{2 - 2}{2}

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = \frac{2 + 2}{2}, sin (x) = \frac{2 - 2}{2}

sin (x) = \frac{2 + 2}{2}, sin (x) = \frac{2 - 2}{2}

sin (x) = \frac{2 + 2}{2} :

Aucune solution

sin (x) = \frac{2 + 2}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Aucune solution

sin (x) = \frac{2 - 2}{2} : x = arcsin (\frac{2 - 2}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 - 2}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{2 - 2}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (x) = \frac{2 - 2}{2}

Solutions générales pour

sin (x) = \frac{2 - 2}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2 - 2}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 - 2}{2}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2 - 2}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 - 2}{2}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arcsin (\frac{2 - 2}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 - 2}{2}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 0.29725 \dots + 2 πn, x = π - 0.29725 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

1/4 =cos(x)

cos(2x)+3cos(x)=-2

4tan^2(θ)+16tan(θ)=7tan(θ)-2

10(1-cos(θ))=sin^2(θ)

cos(2x)=2-5cos(x)