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受欢迎的三角函数 >

cos(2θ)-sqrt(3)cos(θ)=0,0<= θ<2pi

解答

cos (2 θ) - 3 cos (θ) = 0, 0 \leq θ < 2 π

解答

θ = 1.97810 \dots, θ = - 1.97810 \dots + 2 π

+1

度数

θ = 113.33731 \dots^{\circ}, θ = 246.66268 \dots^{\circ}

求解步骤

cos (2 θ) - 3 cos (θ) = 0, 0 \leq θ < 2 π

使用三角恒等式改写

cos (2 θ) - cos (θ) 3

使用倍角公式:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (θ) - 1 - 3 cos (θ)

- 1 + 2 cos^{2} (θ) - cos (θ) 3 = 0

用替代法求解

- 1 + 2 cos^{2} (θ) - cos (θ) 3 = 0

令

: cos (θ) = u

- 1 + 2 u^{2} - u 3 = 0

- 1 + 2 u^{2} - u 3 = 0 : u = \frac{3 + 11}{4}, u = \frac{3 - 11}{4}

- 1 + 2 u^{2} - u 3 = 0

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 3 u - 1 = 0

使用求根公式求解

2 u^{2} - 3 u - 1 = 0

二次方程求根公式:

若

a = 2, b = - 3, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 (- 1) = 11

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 (- 1)

使用法则

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

(- 3)^{2} = 3

(- 3)^{2}

使用指数法则:

(- a)^{n} = a^{n},

若

n

是偶数

(- 3)^{2} = (3)^{2}

= (3)^{2}

使用根式运算法则:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

使用指数法则:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

约分:

2

= 1

= 3

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

4 \cdot 2 \cdot 1

数字相乘:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 8

= 3 + 8

数字相加:

3 + 8 = 11

= 11

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 11}{2 \cdot 2}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 11}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 11}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 3 ) + 11}{2 \cdot 2} : \frac{3 + 11}{4}

\frac{- ( - 3 ) + 11}{2 \cdot 2}

使用法则

- (- a) = a

= \frac{3 + 11}{2 \cdot 2}

数字相乘:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 + 11}{4}

u = \frac{- ( - 3 ) - 11}{2 \cdot 2} : \frac{3 - 11}{4}

\frac{- ( - 3 ) - 11}{2 \cdot 2}

使用法则

- (- a) = a

= \frac{3 - 11}{2 \cdot 2}

数字相乘:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 - 11}{4}

二次方程组的解是:

u = \frac{3 + 11}{4}, u = \frac{3 - 11}{4}

u = cos (θ)

代回

cos (θ) = \frac{3 + 11}{4}, cos (θ) = \frac{3 - 11}{4}

cos (θ) = \frac{3 + 11}{4}, cos (θ) = \frac{3 - 11}{4}

cos (θ) = \frac{3 + 11}{4}, 0 \leq θ < 2 π :

无解

cos (θ) = \frac{3 + 11}{4}, 0 \leq θ < 2 π

- 1 \leq cos (x) \leq 1

无解

cos (θ) = \frac{3 - 11}{4}, 0 \leq θ < 2 π : θ = arccos (\frac{3 - 11}{4}), θ = - arccos (\frac{3 - 11}{4}) + 2 π

cos (θ) = \frac{3 - 11}{4}, 0 \leq θ < 2 π

使用反三角函数性质

cos (θ) = \frac{3 - 11}{4}

cos (θ) = \frac{3 - 11}{4}

的通解

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{3 - 11}{4}) + 2 πn, θ = - arccos (\frac{3 - 11}{4}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{3 - 11}{4}) + 2 πn, θ = - arccos (\frac{3 - 11}{4}) + 2 πn

在

0 \leq θ < 2 π

范围内的解

θ = arccos (\frac{3 - 11}{4}), θ = - arccos (\frac{3 - 11}{4}) + 2 π

合并所有解

θ = arccos (\frac{3 - 11}{4}), θ = - arccos (\frac{3 - 11}{4}) + 2 π

以小数形式表示解

θ = 1.97810 \dots, θ = - 1.97810 \dots + 2 π

作图

流行的例子

2cos^2(θ)-7cos(θ)-4=0

2 cos^{2} (θ) - 7 cos (θ) - 4 = 0

sin(θ)= 3/10 ,sin(θ+pi/6)

sin (θ) = \frac{3}{10}, sin (θ + \frac{π}{6})

3sin^2(x)=8cos(x)

3 sin^{2} (x) = 8 cos (x)

7cos(x)-24sin(x)=10

7 cos (x) - 24 sin (x) = 10

4cos(2θ)+1=2cos(θ)

4 cos (2 θ) + 1 = 2 cos (θ)