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Beliebt Trigonometrie >

(4sin(2x)+4cos(2x))^2=16

Lösung

(4 sin (2 x) + 4 cos (2 x))^{2} = 16

Lösung

x = πn + \frac{π}{2}, x = πn + \frac{3 π}{4}, x = πn, x = πn + \frac{π}{4}

Grad

x = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

(4 sin (2 x) + 4 cos (2 x))^{2} = 16

Subtrahiere

16

von beiden Seiten

(4 sin (2 x) + 4 cos (2 x))^{2} - 16 = 0

Faktorisiere

(4 sin (2 x) + 4 cos (2 x))^{2} - 16 : 16 (sin (2 x) + cos (2 x) + 1) (sin (2 x) + cos (2 x) - 1)

(4 sin (2 x) + 4 cos (2 x))^{2} - 16

Schreibe

16

um:

4^{2}

= (4 sin (2 x) + 4 cos (2 x))^{2} - 4^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(4 sin (2 x) + 4 cos (2 x))^{2} - 4^{2} = ((4 sin (2 x) + 4 cos (2 x)) + 4) ((4 sin (2 x) + 4 cos (2 x)) - 4)

= ((4 sin (2 x) + 4 cos (2 x)) + 4) ((4 sin (2 x) + 4 cos (2 x)) - 4)

Fasse zusammen

= (4 sin (2 x) + 4 cos (2 x) + 4) (4 sin (2 x) + 4 cos (2 x) - 4)

Faktorisiere

4 sin (2 x) + 4 cos (2 x) + 4 : 4 (sin (2 x) + cos (2 x) + 1)

4 sin (2 x) + 4 cos (2 x) + 4

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (sin (2 x) + cos (2 x) + 1)

= 4 (sin (2 x) + cos (2 x) + 1) (4 sin (2 x) + 4 cos (2 x) - 4)

Faktorisiere

4 sin (2 x) + 4 cos (2 x) - 4 : 4 (sin (2 x) + cos (2 x) - 1)

4 sin (2 x) + 4 cos (2 x) - 4

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (sin (2 x) + cos (2 x) - 1)

= 4 (sin (2 x) + cos (2 x) + 1) \cdot 4 (sin (2 x) + cos (2 x) - 1)

Fasse zusammen

= 16 (sin (2 x) + cos (2 x) + 1) (sin (2 x) + cos (2 x) - 1)

16 (sin (2 x) + cos (2 x) + 1) (sin (2 x) + cos (2 x) - 1) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (2 x) + cos (2 x) + 1 = 0 or sin (2 x) + cos (2 x) - 1 = 0

sin (2 x) + cos (2 x) + 1 = 0 : x = πn + \frac{π}{2}, x = πn + \frac{3 π}{4}

sin (2 x) + cos (2 x) + 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (2 x) + cos (2 x) + 1

sin (2 x) + cos (2 x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{4})

sin (2 x) + cos (2 x)

Schreibe um

= 2 (\frac{1}{2} sin (2 x) + \frac{1}{2} cos (2 x))

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (2 x) + sin (\frac{π}{4}) cos (2 x))

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (2 x + \frac{π}{4})

= 1 + 2 sin (2 x + \frac{π}{4})

1 + 2 sin (2 x + \frac{π}{4}) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + 2 sin (2 x + \frac{π}{4}) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + 2 sin (2 x + \frac{π}{4}) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 sin (2 x + \frac{π}{4}) = - 1

2 sin (2 x + \frac{π}{4}) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (2 x + \frac{π}{4}) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( 2 x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( 2 x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( 2 x + \frac{π}{4} )}{2} : sin (2 x + \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( 2 x + \frac{π}{4} )}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= sin (2 x + \frac{π}{4})

Vereinfache

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Rationalisiere

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

sin (2 x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (2 x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (2 x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (2 x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

2 x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, 2 x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

2 x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, 2 x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Löse

2 x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn : x = πn + \frac{π}{2}

2 x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

2 x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

2 x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

2 x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

2 x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : 2 x

2 x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= 2 x

Vereinfache

\frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + π

\frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{5 π}{4}

Ziehe Brüche zusammen

- \frac{π}{4} + \frac{5 π}{4} : π

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 5 π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

- π + 5 π = 4 π

= \frac{4 π}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= π

= 2 πn + π

2 x = 2 πn + π

2 x = 2 πn + π

2 x = 2 πn + π

Teile beide Seiten durch

2

2 x = 2 πn + π

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{2 πn}{2} + \frac{π}{2}

Vereinfache

x = πn + \frac{π}{2}

x = πn + \frac{π}{2}

Löse

2 x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn : x = πn + \frac{3 π}{4}

2 x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

2 x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

2 x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

2 x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

2 x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : 2 x

2 x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= 2 x

Vereinfache

\frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{3 π}{2}

\frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{7 π}{4}

Ziehe Brüche zusammen

- \frac{π}{4} + \frac{7 π}{4} : \frac{3 π}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 7 π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

- π + 7 π = 6 π

= \frac{6 π}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 π}{2}

= 2 πn + \frac{3 π}{2}

2 x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

2 x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

2 x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

Teile beide Seiten durch

2

2 x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{3 π}{2}}{2} : πn + \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{3 π}{2}}{2}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

= πn + \frac{3 π}{4}

x = πn + \frac{3 π}{4}

x = πn + \frac{3 π}{4}

x = πn + \frac{3 π}{4}

x = πn + \frac{π}{2}, x = πn + \frac{3 π}{4}

sin (2 x) + cos (2 x) - 1 = 0 : x = πn, x = πn + \frac{π}{4}

sin (2 x) + cos (2 x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (2 x) + cos (2 x) - 1

sin (2 x) + cos (2 x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{4})

sin (2 x) + cos (2 x)

Schreibe um

= 2 (\frac{1}{2} sin (2 x) + \frac{1}{2} cos (2 x))

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (2 x) + sin (\frac{π}{4}) cos (2 x))

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (2 x + \frac{π}{4})

= - 1 + 2 sin (2 x + \frac{π}{4})

- 1 + 2 sin (2 x + \frac{π}{4}) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- 1 + 2 sin (2 x + \frac{π}{4}) = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

- 1 + 2 sin (2 x + \frac{π}{4}) + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 sin (2 x + \frac{π}{4}) = 1

2 sin (2 x + \frac{π}{4}) = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (2 x + \frac{π}{4}) = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( 2 x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( 2 x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( 2 x + \frac{π}{4} )}{2} : sin (2 x + \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( 2 x + \frac{π}{4} )}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= sin (2 x + \frac{π}{4})

Vereinfache

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

sin (2 x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (2 x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (2 x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (2 x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

2 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn, 2 x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

2 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn, 2 x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Löse

2 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn : x = πn

2 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

2 x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

2 x = 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = πn

x = πn

Löse

2 x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn : x = πn + \frac{π}{4}

2 x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

2 x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

2 x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

2 x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

2 x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : 2 x

2 x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= 2 x

Vereinfache

\frac{3 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{π}{2}

\frac{3 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{3 π}{4}

Ziehe Brüche zusammen

- \frac{π}{4} + \frac{3 π}{4} : \frac{π}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 3 π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

- π + 3 π = 2 π

= \frac{2 π}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{π}{2}

= 2 πn + \frac{π}{2}

2 x = 2 πn + \frac{π}{2}

2 x = 2 πn + \frac{π}{2}

2 x = 2 πn + \frac{π}{2}

Teile beide Seiten durch

2

2 x = 2 πn + \frac{π}{2}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{π}{2}}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{π}{2}}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{π}{2}}{2} : πn + \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{π}{2}}{2}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

= πn + \frac{π}{4}

x = πn + \frac{π}{4}

x = πn + \frac{π}{4}

x = πn + \frac{π}{4}

x = πn, x = πn + \frac{π}{4}

Kombiniere alle Lösungen

x = πn + \frac{π}{2}, x = πn + \frac{3 π}{4}, x = πn, x = πn + \frac{π}{4}

Graph

Beliebte Beispiele

2sec(x)tan(x)+sec^2(x)=0

2 sec (x) tan (x) + sec^{2} (x) = 0

sec^2(x)+4tan(x)=6

sec^{2} (x) + 4 tan (x) = 6

sin^2(θ)=4-2cos^2(θ)

sin^{2} (θ) = 4 - 2 cos^{2} (θ)

2cos^2(x)-cos(x)-3=0

2 cos^{2} (x) - cos (x) - 3 = 0

arcsin(x)= pi/7

arcsin (x) = \frac{π}{7}