English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

2sinh(2x)-10sinh(x)=0

Решение

2 sinh (2 x) - 10 sinh (x) = 0

Решение

x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

Градусы

x = 0^{\circ}, x = 89.77098 \dots^{\circ}, x = - 89.77098 \dots^{\circ}

Шаги решения

2 sinh (2 x) - 10 sinh (x) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

2 sinh (2 x) - 10 sinh (x) = 0

Используйте гиперболическое тождество:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0 : x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

Добавьте

10 \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

к обеим сторонам

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} + 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0 + 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

После упрощения получаем

e^{2 x} - e^{- 2 x} = 5 (e^{x} - e^{- x})

Примените правило возведения в степень

e^{2 x} - e^{- 2 x} = 5 (e^{x} - e^{- x})

Примените правило возведения в степень:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}, e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(e^{x})^{2} - (e^{x})^{- 2} = 5 (e^{x} - (e^{x})^{- 1})

(e^{x})^{2} - (e^{x})^{- 2} = 5 (e^{x} - (e^{x})^{- 1})

Перепишите уравнение с

e^{x} = u

(u)^{2} - (u)^{- 2} = 5 (u - (u)^{- 1})

Решить

u^{2} - u^{- 2} = 5 (u - u^{- 1}) : u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u^{2} - u^{- 2} = 5 (u - u^{- 1})

Уточнить

u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} = 5 (u - \frac{1}{u})

Умножьте обе части на

u^{2}

u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} = 5 (u - \frac{1}{u})

Умножьте обе части на

u^{2}

u^{2} u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

После упрощения получаем

u^{2} u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

Упростите

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Добавьте числа:

2 + 2 = 4

= u^{4}

Упростите

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2} : - 1

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Отмените общий множитель:

u^{2}

= - 1

u^{4} - 1 = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

u^{4} - 1 = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

u^{4} - 1 = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

Расширьте

5 (u - \frac{1}{u}) u^{2} : 5 u^{3} - 5 u

5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

= 5 u^{2} (u - \frac{1}{u})

Примените распределительный закон:

a (b - c) = ab - a c

a = 5 u^{2}, b = u, c = \frac{1}{u}

= 5 u^{2} u - 5 u^{2} \frac{1}{u}

= 5 u^{2} u - 5 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

Упростить

5 u^{2} u - 5 \cdot \frac{1}{u} u^{2} : 5 u^{3} - 5 u

5 u^{2} u - 5 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

5 u^{2} u = 5 u^{3}

5 u^{2} u

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 5 u^{2 + 1}

Добавьте числа:

2 + 1 = 3

= 5 u^{3}

5 \cdot \frac{1}{u} u^{2} = 5 u

5 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5 u ^{2}}{u}

Перемножьте числа:

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5 u ^{2}}{u}

Отмените общий множитель:

u

= 5 u

= 5 u^{3} - 5 u

= 5 u^{3} - 5 u

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u

Решить

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u : u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u

Переместите

5 u

влево

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u

Добавьте

5 u

к обеим сторонам

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3} - 5 u + 5 u

После упрощения получаем

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3}

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3}

Переместите

5 u^{3}

влево

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3}

Вычтите

5 u^{3}

с обеих сторон

u^{4} - 1 + 5 u - 5 u^{3} = 5 u^{3} - 5 u^{3}

После упрощения получаем

u^{4} - 1 + 5 u - 5 u^{3} = 0

u^{4} - 1 + 5 u - 5 u^{3} = 0

Запишите в стандартной форме

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1 = 0

Найдите множитель

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1 : (u + 1) (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1

Используйте теорему о рациональных корнях

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Делители

a_{0} : 1,

Делители

a_{n} : 1

Поэтому проверьте следующие рациональные числа:

\pm \frac{1}{1}

- \frac{1}{1}

является корнем выражения, поэтому вынесите из него

u + 1

= (u + 1) \frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

Поделите

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} : \frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = u^{3} + \frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1

и делителя

u + 1 : \frac{u ^{4}}{u} = u^{3}

Частное = u^{3}

Умножьте

u + 1

на

u^{3} : u^{4} + u^{3}

Вычтите

u^{4} + u^{3}

из

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = - 6 u^{3} + 5 u - 1

Поэтому

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = u^{3} + \frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

= u^{3} + \frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

Поделите

\frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} : \frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = - 6 u^{2} + \frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

- 6 u^{3} + 5 u - 1

и делителя

u + 1 : \frac{- 6 u ^{3}}{u} = - 6 u^{2}

Частное = - 6 u^{2}

Умножьте

u + 1

на

- 6 u^{2} : - 6 u^{3} - 6 u^{2}

Вычтите

- 6 u^{3} - 6 u^{2}

из

- 6 u^{3} + 5 u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 6 u^{2} + 5 u - 1

Поэтому

\frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = - 6 u^{2} + \frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1}

= u^{3} - 6 u^{2} + \frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1}

Поделите

\frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1} : \frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1} = 6 u + \frac{- u - 1}{u + 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

6 u^{2} + 5 u - 1

и делителя

u + 1 : \frac{6 u ^{2}}{u} = 6 u

Частное = 6 u

Умножьте

u + 1

на

6 u : 6 u^{2} + 6 u

Вычтите

6 u^{2} + 6 u

из

6 u^{2} + 5 u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = - u - 1

Поэтому

\frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1} = 6 u + \frac{- u - 1}{u + 1}

= u^{3} - 6 u^{2} + 6 u + \frac{- u - 1}{u + 1}

Поделите

\frac{- u - 1}{u + 1} : \frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

Разделите старшие коэффициенты числителя

- u - 1

и делителя

u + 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Частное = - 1

Умножьте

u + 1

на

- 1 : - u - 1

Вычтите

- u - 1

из

- u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 0

Поэтому

\frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

= u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

= u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

коэффициент

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1 : (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

Используйте теорему о рациональных корнях

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Делители

a_{0} : 1,

Делители

a_{n} : 1

Поэтому проверьте следующие рациональные числа:

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

является корнем выражения, поэтому вынесите из него

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = u^{2} - 5 u + 1

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

Поделите

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} : \frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

и делителя

u - 1 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Частное = u^{2}

Умножьте

u - 1

на

u^{2} : u^{3} - u^{2}

Вычтите

u^{3} - u^{2}

из

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = - 5 u^{2} + 6 u - 1

Поэтому

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

= u^{2} + \frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

Поделите

\frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} : \frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = - 5 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

- 5 u^{2} + 6 u - 1

и делителя

u - 1 : \frac{- 5 u ^{2}}{u} = - 5 u

Частное = - 5 u

Умножьте

u - 1

на

- 5 u : - 5 u^{2} + 5 u

Вычтите

- 5 u^{2} + 5 u

из

- 5 u^{2} + 6 u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = u - 1

Поэтому

\frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = - 5 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= u^{2} - 5 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Поделите

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Разделите старшие коэффициенты числителя

u - 1

и делителя

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Частное = 1

Умножьте

u - 1

на

1 : u - 1

Вычтите

u - 1

из

u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 0

Поэтому

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= u^{2} - 5 u + 1

= u^{2} - 5 u + 1

= (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

= (u + 1) (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

(u + 1) (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1) = 0

Использование принципа нулевого множителя:

Если

ab = 0

то

a = 0

или

b = 0

u + 1 = 0 or u - 1 = 0 or u^{2} - 5 u + 1 = 0

Решить

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Переместите

1

вправо

u + 1 = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

u + 1 - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

u = - 1

u = - 1

Решить

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

u = 1

u = 1

Решить

u^{2} - 5 u + 1 = 0 : u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u^{2} - 5 u + 1 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

u^{2} - 5 u + 1 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = 1, b = - 5, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 21

(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Примените правило возведения в степень:

(- a)^{n} = a^{n},

если

n

четное

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Перемножьте числа:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 5^{2} - 4

5^{2} = 25

= 25 - 4

Вычтите числа:

25 - 4 = 21

= 21

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 21}{2 \cdot 1}

Разделите решения

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 21}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 21}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 5 ) + 21}{2 \cdot 1} : \frac{5 + 21}{2}

\frac{- ( - 5 ) + 21}{2 \cdot 1}

Примените правило

- (- a) = a

= \frac{5 + 21}{2 \cdot 1}

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{5 + 21}{2}

u = \frac{- ( - 5 ) - 21}{2 \cdot 1} : \frac{5 - 21}{2}

\frac{- ( - 5 ) - 21}{2 \cdot 1}

Примените правило

- (- a) = a

= \frac{5 - 21}{2 \cdot 1}

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{5 - 21}{2}

Решением квадратного уравнения являются:

u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

Решениями являются

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

Проверьте решения

Найти неопределенные (сингулярные) точки:

u = 0

Возьмите знаменатель(и)

u^{2} - u^{- 2}

и сравните с нулем

Решить

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Примените правило

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Возьмите знаменатель(и)

5 (u - u^{- 1})

и сравните с нулем

u = 0

Следующие точки не определены

u = 0

Объедините неопределенные точки с решениями:

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

Произведите обратную замену

u = e^{x},

решите для

x

Решить

e^{x} = - 1 :

Решения для

x \in R

нет

e^{x} = - 1

a^{f (x)}

не может быть нулевым или отрицательным для

x \in R

Решения для x \in R нет

Решить

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Примените правило возведения в степень

e^{x} = 1

Если

f (x) = g (x)

, то

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Примените логарифмическое правило:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Упростите

ln (1) : 0

ln (1)

Примените логарифмическое правило:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

Решить

e^{x} = \frac{5 + 21}{2} : x = ln (\frac{5 + 21}{2})

e^{x} = \frac{5 + 21}{2}

Примените правило возведения в степень

e^{x} = \frac{5 + 21}{2}

Если

f (x) = g (x)

, то

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 + 21}{2})

Примените логарифмическое правило:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 + 21}{2})

x = ln (\frac{5 + 21}{2})

Решить

e^{x} = \frac{5 - 21}{2} : x = ln (\frac{5 - 21}{2})

e^{x} = \frac{5 - 21}{2}

Примените правило возведения в степень

e^{x} = \frac{5 - 21}{2}

Если

f (x) = g (x)

, то

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 - 21}{2})

Примените логарифмическое правило:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 - 21}{2})

x = ln (\frac{5 - 21}{2})

x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

Решение

Решение

График

Популярные примеры