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受欢迎的三角函数 >

2sinh(2x)-10sinh(x)=0

解答

2 sinh (2 x) - 10 sinh (x) = 0

解答

x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

+1

度数

x = 0^{\circ}, x = 89.77098 \dots^{\circ}, x = - 89.77098 \dots^{\circ}

求解步骤

2 sinh (2 x) - 10 sinh (x) = 0

使用三角恒等式改写

2 sinh (2 x) - 10 sinh (x) = 0

使用双曲函数恒等式:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0 : x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

两边加上

10 \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} + 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0 + 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

化简

e^{2 x} - e^{- 2 x} = 5 (e^{x} - e^{- x})

使用指数运算法则

e^{2 x} - e^{- 2 x} = 5 (e^{x} - e^{- x})

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}, e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(e^{x})^{2} - (e^{x})^{- 2} = 5 (e^{x} - (e^{x})^{- 1})

(e^{x})^{2} - (e^{x})^{- 2} = 5 (e^{x} - (e^{x})^{- 1})

用

e^{x} = u

改写方程式

(u)^{2} - (u)^{- 2} = 5 (u - (u)^{- 1})

解

u^{2} - u^{- 2} = 5 (u - u^{- 1}) : u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u^{2} - u^{- 2} = 5 (u - u^{- 1})

整理后得

u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} = 5 (u - \frac{1}{u})

在两边乘以

u^{2}

u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} = 5 (u - \frac{1}{u})

在两边乘以

u^{2}

u^{2} u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

化简

u^{2} u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

化简

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

数字相加:

2 + 2 = 4

= u^{4}

化简

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2} : - 1

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

约分:

u^{2}

= - 1

u^{4} - 1 = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

u^{4} - 1 = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

u^{4} - 1 = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

展开

5 (u - \frac{1}{u}) u^{2} : 5 u^{3} - 5 u

5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

= 5 u^{2} (u - \frac{1}{u})

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = 5 u^{2}, b = u, c = \frac{1}{u}

= 5 u^{2} u - 5 u^{2} \frac{1}{u}

= 5 u^{2} u - 5 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

化简

5 u^{2} u - 5 \cdot \frac{1}{u} u^{2} : 5 u^{3} - 5 u

5 u^{2} u - 5 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

5 u^{2} u = 5 u^{3}

5 u^{2} u

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 5 u^{2 + 1}

数字相加:

2 + 1 = 3

= 5 u^{3}

5 \cdot \frac{1}{u} u^{2} = 5 u

5 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5 u ^{2}}{u}

数字相乘:

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5 u ^{2}}{u}

约分:

u

= 5 u

= 5 u^{3} - 5 u

= 5 u^{3} - 5 u

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u

解

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u : u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u

将

5 u

para o lado esquerdo

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u

两边加上

5 u

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3} - 5 u + 5 u

化简

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3}

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3}

将

5 u^{3}

para o lado esquerdo

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3}

两边减去

5 u^{3}

u^{4} - 1 + 5 u - 5 u^{3} = 5 u^{3} - 5 u^{3}

化简

u^{4} - 1 + 5 u - 5 u^{3} = 0

u^{4} - 1 + 5 u - 5 u^{3} = 0

改写成标准形式

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1 = 0

因式分解

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1 : (u + 1) (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1

使用有理根定理

a_{0} = 1, a_{n} = 1

a_{0}

的除数

: 1, a_{n}

的除数

: 1

因此，检验以下有理数:

\pm \frac{1}{1}

- \frac{1}{1}

是表达式的根，所以因式分解

u + 1

= (u + 1) \frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

对

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

做除法:

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = u^{3} + \frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

将分子

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1

与除数

u + 1

的首项系数相除：

\frac{u ^{4}}{u} = u^{3}

商 = u^{3}

将

u + 1

乘以

u^{3} : u^{4} + u^{3}

将

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1

减去

u^{4} + u^{3}

得到新的余数

余数 = - 6 u^{3} + 5 u - 1

因此

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = u^{3} + \frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

= u^{3} + \frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

对

\frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

做除法:

\frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = - 6 u^{2} + \frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1}

将分子

- 6 u^{3} + 5 u - 1

与除数

u + 1

的首项系数相除：

\frac{- 6 u ^{3}}{u} = - 6 u^{2}

商 = - 6 u^{2}

将

u + 1

乘以

- 6 u^{2} : - 6 u^{3} - 6 u^{2}

将

- 6 u^{3} + 5 u - 1

减去

- 6 u^{3} - 6 u^{2}

得到新的余数

余数 = 6 u^{2} + 5 u - 1

因此

\frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = - 6 u^{2} + \frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1}

= u^{3} - 6 u^{2} + \frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1}

对

\frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1}

做除法:

\frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1} = 6 u + \frac{- u - 1}{u + 1}

将分子

6 u^{2} + 5 u - 1

与除数

u + 1

的首项系数相除：

\frac{6 u ^{2}}{u} = 6 u

商 = 6 u

将

u + 1

乘以

6 u : 6 u^{2} + 6 u

将

6 u^{2} + 5 u - 1

减去

6 u^{2} + 6 u

得到新的余数

余数 = - u - 1

因此

\frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1} = 6 u + \frac{- u - 1}{u + 1}

= u^{3} - 6 u^{2} + 6 u + \frac{- u - 1}{u + 1}

对

\frac{- u - 1}{u + 1}

做除法:

\frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

将分子

- u - 1

与除数

u + 1

的首项系数相除：

\frac{- u}{u} = - 1

商 = - 1

将

u + 1

乘以

- 1 : - u - 1

将

- u - 1

减去

- u - 1

得到新的余数

余数 = 0

因此

\frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

= u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

= u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

分解

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1 : (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

使用有理根定理

a_{0} = 1, a_{n} = 1

a_{0}

的除数

: 1, a_{n}

的除数

: 1

因此，检验以下有理数:

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

是表达式的根，所以因式分解

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = u^{2} - 5 u + 1

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

对

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

做除法:

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

将分子

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

与除数

u - 1

的首项系数相除：

\frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

商 = u^{2}

将

u - 1

乘以

u^{2} : u^{3} - u^{2}

将

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

减去

u^{3} - u^{2}

得到新的余数

余数 = - 5 u^{2} + 6 u - 1

因此

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

= u^{2} + \frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

对

\frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

做除法:

\frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = - 5 u + \frac{u - 1}{u - 1}

将分子

- 5 u^{2} + 6 u - 1

与除数

u - 1

的首项系数相除：

\frac{- 5 u ^{2}}{u} = - 5 u

商 = - 5 u

将

u - 1

乘以

- 5 u : - 5 u^{2} + 5 u

将

- 5 u^{2} + 6 u - 1

减去

- 5 u^{2} + 5 u

得到新的余数

余数 = u - 1

因此

\frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = - 5 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= u^{2} - 5 u + \frac{u - 1}{u - 1}

对

\frac{u - 1}{u - 1}

做除法:

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

将分子

u - 1

与除数

u - 1

的首项系数相除：

\frac{u}{u} = 1

商 = 1

将

u - 1

乘以

1 : u - 1

将

u - 1

减去

u - 1

得到新的余数

余数 = 0

因此

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= u^{2} - 5 u + 1

= u^{2} - 5 u + 1

= (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

= (u + 1) (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

(u + 1) (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1) = 0

使用零因数法则： If

ab = 0

then

a = 0

or

b = 0

u + 1 = 0 or u - 1 = 0 or u^{2} - 5 u + 1 = 0

解

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

将

1

到右边

u + 1 = 0

两边减去

1

u + 1 - 1 = 0 - 1

化简

u = - 1

u = - 1

解

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

将

1

到右边

u - 1 = 0

两边加上

1

u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

u = 1

u = 1

解

u^{2} - 5 u + 1 = 0 : u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u^{2} - 5 u + 1 = 0

使用求根公式求解

u^{2} - 5 u + 1 = 0

二次方程求根公式:

若

a = 1, b = - 5, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 21

(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

使用指数法则:

(- a)^{n} = a^{n},

若

n

是偶数

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

数字相乘:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 5^{2} - 4

5^{2} = 25

= 25 - 4

数字相减:

25 - 4 = 21

= 21

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 21}{2 \cdot 1}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 21}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 21}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 5 ) + 21}{2 \cdot 1} : \frac{5 + 21}{2}

\frac{- ( - 5 ) + 21}{2 \cdot 1}

使用法则

- (- a) = a

= \frac{5 + 21}{2 \cdot 1}

数字相乘:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{5 + 21}{2}

u = \frac{- ( - 5 ) - 21}{2 \cdot 1} : \frac{5 - 21}{2}

\frac{- ( - 5 ) - 21}{2 \cdot 1}

使用法则

- (- a) = a

= \frac{5 - 21}{2 \cdot 1}

数字相乘:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{5 - 21}{2}

二次方程组的解是:

u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

解为

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

验证解

找到无定义的点（奇点）:

u = 0

取

u^{2} - u^{- 2}

的分母，令其等于零

解

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

使用法则

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

取

5 (u - u^{- 1})

的分母，令其等于零

u = 0

以下点无定义

u = 0

将不在定义域的点与解相综合:

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

代回

u = e^{x}

，求解

x

解

e^{x} = - 1 : x \in R

无解

e^{x} = - 1

a^{f (x)}

对于

x

不能为零或负值

\in R

x \in R 无解

解

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

使用指数运算法则

e^{x} = 1

若

f (x) = g (x)

，则

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

使用对数计算法则:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

化简

ln (1) : 0

ln (1)

使用对数计算法则:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

解

e^{x} = \frac{5 + 21}{2} : x = ln (\frac{5 + 21}{2})

e^{x} = \frac{5 + 21}{2}

使用指数运算法则

e^{x} = \frac{5 + 21}{2}

若

f (x) = g (x)

，则

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 + 21}{2})

使用对数计算法则:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 + 21}{2})

x = ln (\frac{5 + 21}{2})

解

e^{x} = \frac{5 - 21}{2} : x = ln (\frac{5 - 21}{2})

e^{x} = \frac{5 - 21}{2}

使用指数运算法则

e^{x} = \frac{5 - 21}{2}

若

f (x) = g (x)

，则

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 - 21}{2})

使用对数计算法则:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 - 21}{2})

x = ln (\frac{5 - 21}{2})

x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

作图

流行的例子

cot(x-pi/2)+1=0

cot (x - \frac{π}{2}) + 1 = 0

-sin(t)+cos(t)=0

- sin (t) + cos (t) = 0

4cos(x)=3sec(x)

4 cos (x) = 3 sec (x)

2sin(x)cos(x)=2sin(x)

2 sin (x) cos (x) = 2 sin (x)

csc (3 x) = 2