English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popolare Trigonometria >

1/2 sinh(2x)-4/5 cosh(2x)+1=0

Soluzione

\frac{1}{2} sinh (2 x) - \frac{4}{5} cosh (2 x) + 1 = 0

Soluzione

x = \frac{1}{2} ln (\frac{10 - 61}{3}), x = \frac{1}{2} ln (\frac{10 + 61}{3})

Gradi

x = - 9.01906 \dots^{\circ}, x = 51.02652 \dots^{\circ}

Fasi della soluzione

\frac{1}{2} sinh (2 x) - \frac{4}{5} cosh (2 x) + 1 = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{1}{2} sinh (2 x) - \frac{4}{5} cosh (2 x) + 1 = 0

Usa l'identità iperbolica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{1}{2} \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - \frac{4}{5} cosh (2 x) + 1 = 0

Usa l'identità iperbolica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{1}{2} \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - \frac{4}{5} \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} + 1 = 0

\frac{1}{2} \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - \frac{4}{5} \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} + 1 = 0

\frac{1}{2} \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - \frac{4}{5} \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} + 1 = 0 : x = \frac{1}{2} ln (\frac{10 - 61}{3}), x = \frac{1}{2} ln (\frac{10 + 61}{3})

\frac{1}{2} \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - \frac{4}{5} \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} + 1 = 0

Trovare il minimo comune multiplo di

4, 10 : 20

4, 10

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

4 : 2 \cdot 2

4

4

diviso per

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Fattorizzazione prima di

10 : 2 \cdot 5

10

10

diviso per

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 5

2, 5

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 5

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 4 o 10

= 2 \cdot 2 \cdot 5

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 \cdot 5 = 20

= 20

Moltiplicare per il minimo comune multiplo=

20

\frac{1}{2} \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} \cdot 20 - \frac{4}{5} \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} \cdot 20 + 1 \cdot 20 = 0 \cdot 20

Semplificare

5 (e^{2 x} - e^{- 2 x}) - 8 (e^{2 x} + e^{- 2 x}) + 20 = 0

Applica le regole dell'esponente

5 (e^{2 x} - e^{- 2 x}) - 8 (e^{2 x} + e^{- 2 x}) + 20 = 0

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}

5 ((e^{x})^{2} - (e^{x})^{- 2}) - 8 ((e^{x})^{2} + (e^{x})^{- 2}) + 20 = 0

5 ((e^{x})^{2} - (e^{x})^{- 2}) - 8 ((e^{x})^{2} + (e^{x})^{- 2}) + 20 = 0

Riscrivi l'equazione con

e^{x} = u

5 ((u)^{2} - (u)^{- 2}) - 8 ((u)^{2} + (u)^{- 2}) + 20 = 0

Risolvi

5 (u^{2} - u^{- 2}) - 8 (u^{2} + u^{- 2}) + 20 = 0 : u = \frac{10 - 61}{3}, u = - \frac{10 - 61}{3}, u = \frac{10 + 61}{3}, u = - \frac{10 + 61}{3}

5 (u^{2} - u^{- 2}) - 8 (u^{2} + u^{- 2}) + 20 = 0

Affinare

5 (u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}) - 8 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) + 20 = 0

Espandere

5 (u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}) - 8 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) + 20 : - 3 u^{2} - \frac{13}{u ^{2}} + 20

5 (u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}) - 8 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) + 20

Espandi

5 (u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}) : 5 u^{2} - \frac{5}{u ^{2}}

5 (u^{2} - \frac{1}{u ^{2}})

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = u^{2}, c = \frac{1}{u ^{2}}

= 5 u^{2} - 5 \cdot \frac{1}{u ^{2}}

5 \cdot \frac{1}{u ^{2}} = \frac{5}{u ^{2}}

5 \cdot \frac{1}{u ^{2}}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5}{u ^{2}}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5}{u ^{2}}

= 5 u^{2} - \frac{5}{u ^{2}}

= 5 u^{2} - \frac{5}{u ^{2}} - 8 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) + 20

Espandi

- 8 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) : - 8 u^{2} - \frac{8}{u ^{2}}

- 8 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}})

Applicare la legge della distribuzione:

a (b + c) = ab + a c

a = - 8, b = u^{2}, c = \frac{1}{u ^{2}}

= - 8 u^{2} + (- 8) \frac{1}{u ^{2}}

Applicare le regole di sottrazione-addizione

+ (- a) = - a

= - 8 u^{2} - 8 \cdot \frac{1}{u ^{2}}

8 \cdot \frac{1}{u ^{2}} = \frac{8}{u ^{2}}

8 \cdot \frac{1}{u ^{2}}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 8}{u ^{2}}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 8 = 8

= \frac{8}{u ^{2}}

= - 8 u^{2} - \frac{8}{u ^{2}}

= 5 u^{2} - \frac{5}{u ^{2}} - 8 u^{2} - \frac{8}{u ^{2}} + 20

Semplifica

5 u^{2} - \frac{5}{u ^{2}} - 8 u^{2} - \frac{8}{u ^{2}} + 20 : - 3 u^{2} - \frac{13}{u ^{2}} + 20

5 u^{2} - \frac{5}{u ^{2}} - 8 u^{2} - \frac{8}{u ^{2}} + 20

Raggruppa termini simili

= 5 u^{2} - 8 u^{2} - \frac{5}{u ^{2}} - \frac{8}{u ^{2}} + 20

Combinare le frazioni

- \frac{5}{u ^{2}} - \frac{8}{u ^{2}} : - \frac{13}{u ^{2}}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 5 - 8}{u ^{2}}

Sottrai i numeri:

- 5 - 8 = - 13

= \frac{- 13}{u ^{2}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{13}{u ^{2}}

= 5 u^{2} - 8 u^{2} - \frac{13}{u ^{2}} + 20

Aggiungi elementi simili:

5 u^{2} - 8 u^{2} = - 3 u^{2}

= - 3 u^{2} - \frac{13}{u ^{2}} + 20

= - 3 u^{2} - \frac{13}{u ^{2}} + 20

- 3 u^{2} - \frac{13}{u ^{2}} + 20 = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u^{2}

- 3 u^{2} - \frac{13}{u ^{2}} + 20 = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u^{2}

- 3 u^{2} u^{2} - \frac{13}{u ^{2}} u^{2} + 20 u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Semplificare

- 3 u^{2} u^{2} - \frac{13}{u ^{2}} u^{2} + 20 u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Semplificare

- 3 u^{2} u^{2} : - 3 u^{4}

- 3 u^{2} u^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= - 3 u^{2 + 2}

Aggiungi i numeri:

2 + 2 = 4

= - 3 u^{4}

Semplificare

- \frac{13}{u ^{2}} u^{2} : - 13

- \frac{13}{u ^{2}} u^{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{13 u ^{2}}{u ^{2}}

Cancella il fattore comune:

u^{2}

= - 13

Semplificare

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

- 3 u^{4} - 13 + 20 u^{2} = 0

- 3 u^{4} - 13 + 20 u^{2} = 0

- 3 u^{4} - 13 + 20 u^{2} = 0

Risolvi

- 3 u^{4} - 13 + 20 u^{2} = 0 : u = \frac{10 - 61}{3}, u = - \frac{10 - 61}{3}, u = \frac{10 + 61}{3}, u = - \frac{10 + 61}{3}

- 3 u^{4} - 13 + 20 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 3 u^{4} + 20 u^{2} - 13 = 0

Riscrivi l'equazione con

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

- 3 v^{2} + 20 v - 13 = 0

Risolvi

- 3 v^{2} + 20 v - 13 = 0 : v = \frac{10 - 61}{3}, v = \frac{10 + 61}{3}

- 3 v^{2} + 20 v - 13 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 3 v^{2} + 20 v - 13 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 3, b = 20, c = - 13

v_{1, 2} = \frac{- 20 \pm 2 0 ^{2} - 4 ( - 3 ) ( - 13 )}{2 ( - 3 )}

v_{1, 2} = \frac{- 20 \pm 2 0 ^{2} - 4 ( - 3 ) ( - 13 )}{2 ( - 3 )}

2 0^{2} - 4 (- 3) (- 13) = 261

2 0^{2} - 4 (- 3) (- 13)

Applicare la regola

- (- a) = a

= 2 0^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 13

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 3 \cdot 13 = 156

= 2 0^{2} - 156

2 0^{2} = 400

= 400 - 156

Sottrai i numeri:

400 - 156 = 244

= 244

Fattorizzazione prima di

244 : 2^{2} \cdot 61

244

244

diviso per

2244 = 122 \cdot 2

= 2 \cdot 122

122

diviso per

2122 = 61 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 61

2, 61

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 61

= 2^{2} \cdot 61

= 2^{2} \cdot 61

Applicare la regola della radice:

= 61 2^{2}

Applicare la regola della radice:

2^{2} = 2

= 261

v_{1, 2} = \frac{- 20 \pm 2 61}{2 ( - 3 )}

Separare le soluzioni

v_{1} = \frac{- 20 + 2 61}{2 ( - 3 )}, v_{2} = \frac{- 20 - 2 61}{2 ( - 3 )}

v = \frac{- 20 + 2 61}{2 ( - 3 )} : \frac{10 - 61}{3}

\frac{- 20 + 2 61}{2 ( - 3 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 20 + 2 61}{- 2 \cdot 3}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 20 + 2 61}{- 6}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 20 + 261 = - (20 - 261)

= \frac{20 - 2 61}{6}

Fattorizza

20 - 261 : 2 (10 - 61)

20 - 261

Riscrivi come

= 2 \cdot 10 - 261

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (10 - 61)

= \frac{2 ( 10 - 61 )}{6}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{10 - 61}{3}

v = \frac{- 20 - 2 61}{2 ( - 3 )} : \frac{10 + 61}{3}

\frac{- 20 - 2 61}{2 ( - 3 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 20 - 2 61}{- 2 \cdot 3}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 20 - 2 61}{- 6}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 20 - 261 = - (20 + 261)

= \frac{20 + 2 61}{6}

Fattorizza

20 + 261 : 2 (10 + 61)

20 + 261

Riscrivi come

= 2 \cdot 10 + 261

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (10 + 61)

= \frac{2 ( 10 + 61 )}{6}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{10 + 61}{3}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

v = \frac{10 - 61}{3}, v = \frac{10 + 61}{3}

v = \frac{10 - 61}{3}, v = \frac{10 + 61}{3}

Sostituisci

v = u^{2},

risolvi per

u

Risolvi

u^{2} = \frac{10 - 61}{3} : u = \frac{10 - 61}{3}, u = - \frac{10 - 61}{3}

u^{2} = \frac{10 - 61}{3}

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = \frac{10 - 61}{3}, u = - \frac{10 - 61}{3}

Risolvi

u^{2} = \frac{10 + 61}{3} : u = \frac{10 + 61}{3}, u = - \frac{10 + 61}{3}

u^{2} = \frac{10 + 61}{3}

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = \frac{10 + 61}{3}, u = - \frac{10 + 61}{3}

Le soluzioni sono

u = \frac{10 - 61}{3}, u = - \frac{10 - 61}{3}, u = \frac{10 + 61}{3}, u = - \frac{10 + 61}{3}

u = \frac{10 - 61}{3}, u = - \frac{10 - 61}{3}, u = \frac{10 + 61}{3}, u = - \frac{10 + 61}{3}

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

5 (u^{2} - u^{- 2}) - 8 (u^{2} + u^{- 2}) + 20

e confrontare con zero

Risolvi

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Applicare la regola

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = \frac{10 - 61}{3}, u = - \frac{10 - 61}{3}, u = \frac{10 + 61}{3}, u = - \frac{10 + 61}{3}

u = \frac{10 - 61}{3}, u = - \frac{10 - 61}{3}, u = \frac{10 + 61}{3}, u = - \frac{10 + 61}{3}

Sostituisci

u = e^{x},

risolvi per

x

Risolvi

e^{x} = \frac{10 - 61}{3} : x = \frac{1}{2} ln (\frac{10 - 61}{3})

e^{x} = \frac{10 - 61}{3}

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = \frac{10 - 61}{3}

Applica la regola degli esponenti:

a = a^{\frac{1}{2}}

\frac{10 - 61}{3} = (\frac{10 - 61}{3})^{\frac{1}{2}}

e^{x} = (\frac{10 - 61}{3})^{\frac{1}{2}}

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{10 - 61}{3})^{\frac{1}{2}}

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{10 - 61}{3})^{\frac{1}{2}}

Applica la regola del logaritmo:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (\frac{10 - 61}{3})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} ln (\frac{10 - 61}{3})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{10 - 61}{3})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{10 - 61}{3})

Risolvi

e^{x} = - \frac{10 - 61}{3} :

Nessuna soluzione per

x \in R

e^{x} = - \frac{10 - 61}{3}

a^{f(x)} non può essere zero o negativo per x\in\mathbb{R}

Nessuna soluzione per x \in R

Risolvi

e^{x} = \frac{10 + 61}{3} : x = \frac{1}{2} ln (\frac{10 + 61}{3})

e^{x} = \frac{10 + 61}{3}

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = \frac{10 + 61}{3}

Applica la regola degli esponenti:

a = a^{\frac{1}{2}}

\frac{10 + 61}{3} = (\frac{10 + 61}{3})^{\frac{1}{2}}

e^{x} = (\frac{10 + 61}{3})^{\frac{1}{2}}

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{10 + 61}{3})^{\frac{1}{2}}

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{10 + 61}{3})^{\frac{1}{2}}

Applica la regola del logaritmo:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (\frac{10 + 61}{3})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} ln (\frac{10 + 61}{3})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{10 + 61}{3})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{10 + 61}{3})

Risolvi

e^{x} = - \frac{10 + 61}{3} :

Nessuna soluzione per

x \in R

e^{x} = - \frac{10 + 61}{3}

a^{f(x)} non può essere zero o negativo per x\in\mathbb{R}

Nessuna soluzione per x \in R

x = \frac{1}{2} ln (\frac{10 - 61}{3}), x = \frac{1}{2} ln (\frac{10 + 61}{3})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{10 - 61}{3}), x = \frac{1}{2} ln (\frac{10 + 61}{3})

Grafico

Esempi popolari

7sin^2(x)+2sin(x)-2=0