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2sin^2(x)-7cos(x)+2=0

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Lösung

2sin2(x)−7cos(x)+2=0

Lösung

x=3π​+2πn,x=35π​+2πn
+1
Grad
x=60∘+360∘n,x=300∘+360∘n
Schritte zur Lösung
2sin2(x)−7cos(x)+2=0
Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten
2+2sin2(x)−7cos(x)
Verwende die Pythagoreische Identität: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=2+2(1−cos2(x))−7cos(x)
Vereinfache 2+2(1−cos2(x))−7cos(x):−2cos2(x)−7cos(x)+4
2+2(1−cos2(x))−7cos(x)
Multipliziere aus 2(1−cos2(x)):2−2cos2(x)
2(1−cos2(x))
Wende das Distributivgesetz an: a(b−c)=ab−aca=2,b=1,c=cos2(x)=2⋅1−2cos2(x)
Multipliziere die Zahlen: 2⋅1=2=2−2cos2(x)
=2+2−2cos2(x)−7cos(x)
Addiere die Zahlen: 2+2=4=−2cos2(x)−7cos(x)+4
=−2cos2(x)−7cos(x)+4
4−2cos2(x)−7cos(x)=0
Löse mit Substitution
4−2cos2(x)−7cos(x)=0
Angenommen: cos(x)=u4−2u2−7u=0
4−2u2−7u=0:u=−4,u=21​
4−2u2−7u=0
Schreibe in der Standard Form ax2+bx+c=0−2u2−7u+4=0
Löse mit der quadratischen Formel
−2u2−7u+4=0
Quadratische Formel für Gliechungen:
Für a=−2,b=−7,c=4u1,2​=2(−2)−(−7)±(−7)2−4(−2)⋅4​​
u1,2​=2(−2)−(−7)±(−7)2−4(−2)⋅4​​
(−7)2−4(−2)⋅4​=9
(−7)2−4(−2)⋅4​
Wende Regel an −(−a)=a=(−7)2+4⋅2⋅4​
Wende Exponentenregel an: (−a)n=an,wenn n gerade ist(−7)2=72=72+4⋅2⋅4​
Multipliziere die Zahlen: 4⋅2⋅4=32=72+32​
72=49=49+32​
Addiere die Zahlen: 49+32=81=81​
Faktorisiere die Zahl: 81=92=92​
Wende Radikal Regel an: nan​=a92​=9=9
u1,2​=2(−2)−(−7)±9​
Trenne die Lösungenu1​=2(−2)−(−7)+9​,u2​=2(−2)−(−7)−9​
u=2(−2)−(−7)+9​:−4
2(−2)−(−7)+9​
Entferne die Klammern: (−a)=−a,−(−a)=a=−2⋅27+9​
Addiere die Zahlen: 7+9=16=−2⋅216​
Multipliziere die Zahlen: 2⋅2=4=−416​
Wende Bruchregel an: −ba​=−ba​=−416​
Teile die Zahlen: 416​=4=−4
u=2(−2)−(−7)−9​:21​
2(−2)−(−7)−9​
Entferne die Klammern: (−a)=−a,−(−a)=a=−2⋅27−9​
Subtrahiere die Zahlen: 7−9=−2=−2⋅2−2​
Multipliziere die Zahlen: 2⋅2=4=−4−2​
Wende Bruchregel an: −b−a​=ba​=42​
Streiche die gemeinsamen Faktoren: 2=21​
Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind: u=−4,u=21​
Setze in u=cos(x)eincos(x)=−4,cos(x)=21​
cos(x)=−4,cos(x)=21​
cos(x)=−4:Keine Lösung
cos(x)=−4
−1≤cos(x)≤1KeineLo¨sung
cos(x)=21​:x=3π​+2πn,x=35π​+2πn
cos(x)=21​
Allgemeine Lösung für cos(x)=21​
cos(x) Periodizitätstabelle mit 2πn Zyklus:
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
x=3π​+2πn,x=35π​+2πn
x=3π​+2πn,x=35π​+2πn
Kombiniere alle Lösungenx=3π​+2πn,x=35π​+2πn

Graph

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Beliebte Beispiele

5cos(θ)=05cos(θ)=0sin(2θ)=4cos(θ)sin(2θ)=4cos(θ)tan(θ)= 4/4tan(θ)=44​tan(θ)= 4/6tan(θ)=64​tan(θ)= 4/7tan(θ)=74​
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