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Popular Trigonometria >

-sqrt(1+tan(x))=sec(x)

Solução

- 1 + tan (x) = sec (x)

Solução

x = πn, x = \frac{π}{4} + πn

Graus

x = 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Passos da solução

- 1 + tan (x) = sec (x)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(- 1 + tan (x))^{2} = sec^{2} (x)

Subtrair

sec^{2} (x)

de ambos os lados

1 + tan (x) - sec^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

1 - sec^{2} (x) + tan (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

sec^{2} (x) - 1 = tan^{2} (x)

= tan (x) - tan^{2} (x)

tan (x) - tan^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

tan (x) - tan^{2} (x) = 0

Sea:

tan (x) = u

u - u^{2} = 0

u - u^{2} = 0 : u = 0, u = 1

u - u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + u = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- u^{2} + u = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 1, b = 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 0 = 1

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 0

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 0

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 0

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 1 + 0

Somar:

1 + 0 = 1

= 1

Aplicar a regra

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1}{2 ( - 1 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )} : 0

\frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 1}{- 2 \cdot 1}

Somar/subtrair:

- 1 + 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{2}

Aplicar a regra

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )} : 1

\frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 1}{- 2 \cdot 1}

Subtrair:

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = 0, u = 1

Substituir na equação

u = tan (x)

tan (x) = 0, tan (x) = 1

tan (x) = 0, tan (x) = 1

tan (x) = 0 : x = πn

tan (x) = 0

Soluções gerais para

tan (x) = 0

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = 0 + πn

x = 0 + πn

Resolver

x = 0 + πn : x = πn

x = 0 + πn

0 + πn = πn

x = πn

x = πn

tan (x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

tan (x) = 1

Soluções gerais para

tan (x) = 1

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Combinar toda as soluções

x = πn, x = \frac{π}{4} + πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

- 1 + tan (x) = sec (x)

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

πn :

Verdadeiro

πn

Inserir

n = 1

π 1

Para

- 1 + tan (x) = sec (x)

inserir

x = π 1

- 1 + tan (π 1) = sec (π 1)

Simplificar

- 1 = - 1

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

\frac{π}{4} + πn :

Verdadeiro

\frac{π}{4} + πn

Inserir

n = 1

\frac{π}{4} + π 1

Para

- 1 + tan (x) = sec (x)

inserir

x = \frac{π}{4} + π 1

- 1 + tan (\frac{π}{4} + π 1) = sec (\frac{π}{4} + π 1)

Simplificar

- 1.41421 \dots = - 1.41421 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

x = πn, x = \frac{π}{4} + πn

Gráfico

Exemplos populares