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Beliebt Trigonometrie >

cos^2(x)+4cos(x)+1=0

Lösung

cos^{2} (x) + 4 cos (x) + 1 = 0

Lösung

x = 1.84206 \dots + 2 πn, x = - 1.84206 \dots + 2 πn

Grad

x = 105.54226 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 105.54226 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos^{2} (x) + 4 cos (x) + 1 = 0

Löse mit Substitution

cos^{2} (x) + 4 cos (x) + 1 = 0

Angenommen:

cos (x) = u

u^{2} + 4 u + 1 = 0

u^{2} + 4 u + 1 = 0 : u = - 2 + 3, u = - 2 - 3

u^{2} + 4 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} + 4 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = 4, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 23

4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4^{2} - 4

4^{2} = 16

= 16 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 4 = 12

= 12

Primfaktorzerlegung von

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

= 3 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 2 3}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 4 + 2 3}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 4 - 2 3}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 4 + 2 3}{2 \cdot 1} : - 2 + 3

\frac{- 4 + 2 3}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 4 + 2 3}{2}

Faktorisiere

- 4 + 23 : 2 (- 2 + 3)

- 4 + 23

Schreibe um

= - 2 \cdot 2 + 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 2 + 3)

= \frac{2 ( - 2 + 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - 2 + 3

u = \frac{- 4 - 2 3}{2 \cdot 1} : - 2 - 3

\frac{- 4 - 2 3}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 4 - 2 3}{2}

Faktorisiere

- 4 - 23 : - 2 (2 + 3)

- 4 - 23

Schreibe um

= - 2 \cdot 2 - 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (2 + 3)

= - \frac{2 ( 2 + 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - (2 + 3)

Negiere die Vorzeichen

- (2 + 3) = - 2 - 3

= - 2 - 3

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 2 + 3, u = - 2 - 3

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - 2 + 3, cos (x) = - 2 - 3

cos (x) = - 2 + 3, cos (x) = - 2 - 3

cos (x) = - 2 + 3 : x = arccos (- 2 + 3) + 2 πn, x = - arccos (- 2 + 3) + 2 πn

cos (x) = - 2 + 3

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - 2 + 3

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 2 + 3

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- 2 + 3) + 2 πn, x = - arccos (- 2 + 3) + 2 πn

x = arccos (- 2 + 3) + 2 πn, x = - arccos (- 2 + 3) + 2 πn

cos (x) = - 2 - 3 :

Keine Lösung

cos (x) = - 2 - 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- 2 + 3) + 2 πn, x = - arccos (- 2 + 3) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.84206 \dots + 2 πn, x = - 1.84206 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)=-1/2 ,-pi<= x<= pi