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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(a)+1/(sec(a))= 5/4

Lösung

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

Lösung

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

a = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

Subtrahiere

\frac{5}{4}

von beiden Seiten

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} - \frac{5}{4} = 0

Vereinfache

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} - \frac{5}{4} : \frac{4 sin ^{2} ( a ) sec ( a ) + 4 - 5 sec ( a )}{4 sec ( a )}

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} - \frac{5}{4}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin^{2} (a) = \frac{sin ^{2} ( a )}{1}

= \frac{sin ^{2} ( a )}{1} + \frac{1}{sec ( a )} - \frac{5}{4}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1, sec (a), 4 : 4 sec (a)

1, sec (a), 4

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1, 4 : 4

1, 4

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

1

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

1

oder

4

vorkommt

= 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die in mindestens einem der faktoriserten Ausdrücke vorkommt.

= 4 sec (a)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

4 sec (a)

Für

\frac{sin ^{2} ( a )}{1} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

4 sec (a)

\frac{sin ^{2} ( a )}{1} = \frac{sin ^{2} ( a ) \cdot 4 sec ( a )}{1 \cdot 4 sec ( a )} = \frac{sin ^{2} ( a ) \cdot 4 sec ( a )}{4 sec ( a )}

Für

\frac{1}{sec ( a )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

4

\frac{1}{sec ( a )} = \frac{1 \cdot 4}{sec ( a ) \cdot 4} = \frac{4}{4 sec ( a )}

Für

\frac{5}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sec (a)

\frac{5}{4} = \frac{5 sec ( a )}{4 sec ( a )}

= \frac{sin ^{2} ( a ) \cdot 4 sec ( a )}{4 sec ( a )} + \frac{4}{4 sec ( a )} - \frac{5 sec ( a )}{4 sec ( a )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( a ) \cdot 4 sec ( a ) + 4 - 5 sec ( a )}{4 sec ( a )}

\frac{4 sin ^{2} ( a ) sec ( a ) + 4 - 5 sec ( a )}{4 sec ( a )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 sin^{2} (a) sec (a) + 4 - 5 sec (a) = 0

Drücke mit sin, cos aus

4 sin^{2} (a) \frac{1}{cos ( a )} + 4 - 5 \cdot \frac{1}{cos ( a )} = 0

Vereinfache

4 sin^{2} (a) \frac{1}{cos ( a )} + 4 - 5 \cdot \frac{1}{cos ( a )} : \frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5 + 4 cos ( a )}{cos ( a )}

4 sin^{2} (a) \frac{1}{cos ( a )} + 4 - 5 \cdot \frac{1}{cos ( a )}

4 sin^{2} (a) \frac{1}{cos ( a )} = \frac{4 sin ^{2} ( a )}{cos ( a )}

4 sin^{2} (a) \frac{1}{cos ( a )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 sin ^{2} ( a )}{cos ( a )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4 sin ^{2} ( a )}{cos ( a )}

5 \cdot \frac{1}{cos ( a )} = \frac{5}{cos ( a )}

5 \cdot \frac{1}{cos ( a )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5}{cos ( a )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5}{cos ( a )}

= \frac{4 sin ^{2} ( a )}{cos ( a )} + 4 - \frac{5}{cos ( a )}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{4 sin ^{2} ( a )}{cos ( a )} - \frac{5}{cos ( a )} : \frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5}{cos ( a )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5}{cos ( a )}

= \frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5}{cos ( a )} + 4

Wandle das Element in einen Bruch um:

4 = \frac{4 cos ( a )}{cos ( a )}

= \frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5}{cos ( a )} + \frac{4 cos ( a )}{cos ( a )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5 + 4 cos ( a )}{cos ( a )}

\frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5 + 4 cos ( a )}{cos ( a )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 sin^{2} (a) - 5 + 4 cos (a) = 0

Subtrahiere

4 cos (a)

von beiden Seiten

4 sin^{2} (a) - 5 = - 4 cos (a)

Quadriere beide Seiten

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} = (- 4 cos (a))^{2}

Subtrahiere

(- 4 cos (a))^{2}

von beiden Seiten

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - 16 cos^{2} (a) = 0

Faktorisiere

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - 16 cos^{2} (a) : (4 sin^{2} (a) - 5 + 4 cos (a)) (4 sin^{2} (a) - 5 - 4 cos (a))

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - 16 cos^{2} (a)

Schreibe

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - 16 cos^{2} (a)

um:

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - (4 cos (a))^{2}

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - 16 cos^{2} (a)

Schreibe

16

um:

4^{2}

= (4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - 4^{2} cos^{2} (a)

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

4^{2} cos^{2} (a) = (4 cos (a))^{2}

= (4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - (4 cos (a))^{2}

= (4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - (4 cos (a))^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - (4 cos (a))^{2} = ((4 sin^{2} (a) - 5) + 4 cos (a)) ((4 sin^{2} (a) - 5) - 4 cos (a))

= ((4 sin^{2} (a) - 5) + 4 cos (a)) ((4 sin^{2} (a) - 5) - 4 cos (a))

Fasse zusammen

= (4 sin^{2} (a) + 4 cos (a) - 5) (4 sin^{2} (a) - 4 cos (a) - 5)

(4 sin^{2} (a) - 5 + 4 cos (a)) (4 sin^{2} (a) - 5 - 4 cos (a)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

4 sin^{2} (a) - 5 + 4 cos (a) = 0 or 4 sin^{2} (a) - 5 - 4 cos (a) = 0

4 sin^{2} (a) - 5 + 4 cos (a) = 0 : a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

4 sin^{2} (a) - 5 + 4 cos (a) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 5 + 4 cos (a) + 4 sin^{2} (a)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 5 + 4 cos (a) + 4 (1 - cos^{2} (a))

Vereinfache

- 5 + 4 cos (a) + 4 (1 - cos^{2} (a)) : 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 1

- 5 + 4 cos (a) + 4 (1 - cos^{2} (a))

Multipliziere aus

4 (1 - cos^{2} (a)) : 4 - 4 cos^{2} (a)

4 (1 - cos^{2} (a))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (a)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (a)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (a)

= - 5 + 4 cos (a) + 4 - 4 cos^{2} (a)

Vereinfache

- 5 + 4 cos (a) + 4 - 4 cos^{2} (a) : 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 1

- 5 + 4 cos (a) + 4 - 4 cos^{2} (a)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 5 + 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 4 = - 1

= 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 1

= 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 1

= 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 1

- 1 + 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) = 0

Angenommen:

cos (a) = u

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

4^{2} - 4 (- 4) (- 1) = 0

4^{2} - 4 (- 4) (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 0}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 4}{2 ( - 4 )}

\frac{- 4}{2 ( - 4 )} = \frac{1}{2}

\frac{- 4}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

Die Lösung für die quadratische Gleichung ist:

u = \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (a)

ein

cos (a) = \frac{1}{2}

cos (a) = \frac{1}{2}

cos (a) = \frac{1}{2} : a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (a) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (a) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

4 sin^{2} (a) - 5 - 4 cos (a) = 0 : a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn

4 sin^{2} (a) - 5 - 4 cos (a) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 5 - 4 cos (a) + 4 sin^{2} (a)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 5 - 4 cos (a) + 4 (1 - cos^{2} (a))

Vereinfache

- 5 - 4 cos (a) + 4 (1 - cos^{2} (a)) : - 4 cos^{2} (a) - 4 cos (a) - 1

- 5 - 4 cos (a) + 4 (1 - cos^{2} (a))

Multipliziere aus

4 (1 - cos^{2} (a)) : 4 - 4 cos^{2} (a)

4 (1 - cos^{2} (a))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (a)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (a)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (a)

= - 5 - 4 cos (a) + 4 - 4 cos^{2} (a)

Vereinfache

- 5 - 4 cos (a) + 4 - 4 cos^{2} (a) : - 4 cos^{2} (a) - 4 cos (a) - 1

- 5 - 4 cos (a) + 4 - 4 cos^{2} (a)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 5 + 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 4 = - 1

= - 4 cos^{2} (a) - 4 cos (a) - 1

= - 4 cos^{2} (a) - 4 cos (a) - 1

= - 4 cos^{2} (a) - 4 cos (a) - 1

- 1 - 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) = 0

Löse mit Substitution

- 1 - 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) = 0

Angenommen:

cos (a) = u

- 1 - 4 u - 4 u^{2} = 0

- 1 - 4 u - 4 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{2}

- 1 - 4 u - 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 4 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} - 4 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = - 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 4) (- 1) = 0

(- 4)^{2} - 4 (- 4) (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 0}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 4 )}{2 ( - 4 )}

\frac{- ( - 4 )}{2 ( - 4 )} = - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 4 )}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

Die Lösung für die quadratische Gleichung ist:

u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (a)

ein

cos (a) = - \frac{1}{2}

cos (a) = - \frac{1}{2}

cos (a) = - \frac{1}{2} : a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (a) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (a) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn

a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn, a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{3} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{3} + 2 π 1

Setze

a = \frac{π}{3} + 2 π 1

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

ein, um zu lösen

sin^{2} (\frac{π}{3} + 2 π 1) + \frac{1}{sec ( \frac{π}{3} + 2 π 1 )} = \frac{5}{4}

Fasse zusammen

1.25 = 1.25

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{5 π}{3} + 2 πn :

Wahr

\frac{5 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

Setze

a = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

ein, um zu lösen

sin^{2} (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) + \frac{1}{sec ( \frac{5 π}{3} + 2 π 1 )} = \frac{5}{4}

Fasse zusammen

1.25 = 1.25

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{2 π}{3} + 2 πn :

Falsch

\frac{2 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{2 π}{3} + 2 π 1

Setze

a = \frac{2 π}{3} + 2 π 1

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

ein, um zu lösen

sin^{2} (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) + \frac{1}{sec ( \frac{2 π}{3} + 2 π 1 )} = \frac{5}{4}

Fasse zusammen

0.25 = 1.25

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{4 π}{3} + 2 πn :

Falsch

\frac{4 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{4 π}{3} + 2 π 1

Setze

a = \frac{4 π}{3} + 2 π 1

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

ein, um zu lösen

sin^{2} (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) + \frac{1}{sec ( \frac{4 π}{3} + 2 π 1 )} = \frac{5}{4}

Fasse zusammen

0.25 = 1.25

\Rightarrow Falsch

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

(csc(x))/(cot(x))=sqrt(2)

sin(4x)+6cos(2x)=0

sec(a)= 41/12 ,2pi<a<(5pi)/2 ,sin(a/2)

sin(2x)=0.3

sin(2x)=0.6