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Beliebt Trigonometrie >

7cos(θ)=7cos(2θ)

Lösung

7 cos (θ) = 7 cos (2 θ)

Lösung

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = 2 πn

Grad

θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

7 cos (θ) = 7 cos (2 θ)

Subtrahiere

7 cos (2 θ)

von beiden Seiten

7 cos (θ) - 7 cos (2 θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 7 cos (2 θ) + 7 cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 7 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 7 cos (θ)

- (- 1 + 2 cos^{2} (θ)) \cdot 7 + 7 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

- (- 1 + 2 cos^{2} (θ)) \cdot 7 + 7 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 7 + 7 u = 0

- (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 7 + 7 u = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 1

- (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 7 + 7 u = 0

Schreibe

- (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 7 + 7 u

um:

7 - 14 u^{2} + 7 u

- (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 7 + 7 u

= - 7 (- 1 + 2 u^{2}) + 7 u

Multipliziere aus

- 7 (- 1 + 2 u^{2}) : 7 - 14 u^{2}

- 7 (- 1 + 2 u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = - 7, b = - 1, c = 2 u^{2}

= - 7 (- 1) + (- 7) \cdot 2 u^{2}

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, + (- a) = - a

= 7 \cdot 1 - 7 \cdot 2 u^{2}

Vereinfache

7 \cdot 1 - 7 \cdot 2 u^{2} : 7 - 14 u^{2}

7 \cdot 1 - 7 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

7 \cdot 1 = 7

= 7 - 7 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

7 \cdot 2 = 14

= 7 - 14 u^{2}

= 7 - 14 u^{2}

= 7 - 14 u^{2} + 7 u

7 - 14 u^{2} + 7 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 14 u^{2} + 7 u + 7 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 14 u^{2} + 7 u + 7 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 14, b = 7, c = 7

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 7 ^{2} - 4 ( - 14 ) \cdot 7}{2 ( - 14 )}

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 7 ^{2} - 4 ( - 14 ) \cdot 7}{2 ( - 14 )}

7^{2} - 4 (- 14) \cdot 7 = 21

7^{2} - 4 (- 14) \cdot 7

Wende Regel an

- (- a) = a

= 7^{2} + 4 \cdot 14 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 14 \cdot 7 = 392

= 7^{2} + 392

7^{2} = 49

= 49 + 392

Addiere die Zahlen:

49 + 392 = 441

= 441

Faktorisiere die Zahl:

441 = 2 1^{2}

= 2 1^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2 1^{2} = 21

= 21

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 21}{2 ( - 14 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 7 + 21}{2 ( - 14 )}, u_{2} = \frac{- 7 - 21}{2 ( - 14 )}

u = \frac{- 7 + 21}{2 ( - 14 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 7 + 21}{2 ( - 14 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 7 + 21}{- 2 \cdot 14}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 7 + 21 = 14

= \frac{14}{- 2 \cdot 14}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 14 = 28

= \frac{14}{- 28}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{14}{28}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

14

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 7 - 21}{2 ( - 14 )} : 1

\frac{- 7 - 21}{2 ( - 14 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 7 - 21}{- 2 \cdot 14}

Subtrahiere die Zahlen:

- 7 - 21 = - 28

= \frac{- 28}{- 2 \cdot 14}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 14 = 28

= \frac{- 28}{- 28}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{28}{28}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2}, u = 1

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - \frac{1}{2}, cos (θ) = 1

cos (θ) = - \frac{1}{2}, cos (θ) = 1

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3cos(2x)=3cos(x)

3 cos (2 x) = 3 cos (x)

-2sin(θ)=2sin(2θ)

- 2 sin (θ) = 2 sin (2 θ)

sin(α)=0

sin (α) = 0

sin(90)=cos(x)

sin (9 0^{\circ}) = cos (x)

sqrt(3)tan^2(x)+2tan(x)-sqrt(3)=0

3 tan^{2} (x) + 2 tan (x) - 3 = 0