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Popular Trigonometria >

2tan(x)=3csc(x)

Solução

2 tan (x) = 3 csc (x)

Solução

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graus

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

2 tan (x) = 3 csc (x)

Subtrair

3 csc (x)

de ambos os lados

2 tan (x) - 3 csc (x) = 0

Expresar com seno, cosseno

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 3 \cdot \frac{1}{sin ( x )} = 0

Simplificar

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 3 \cdot \frac{1}{sin ( x )} : \frac{2 sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 3 \cdot \frac{1}{sin ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )}

3 \cdot \frac{1}{sin ( x )} = \frac{3}{sin ( x )}

3 \cdot \frac{1}{sin ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{sin ( x )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{sin ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{3}{sin ( x )}

Mínimo múltiplo comum de

cos (x), sin (x) : cos (x) sin (x)

cos (x), sin (x)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

cos (x)

quanto em

sin (x)

= cos (x) sin (x)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin (x)

\frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 2 sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{2 sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Para

\frac{3}{sin ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos (x)

\frac{3}{sin ( x )} = \frac{3 cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{2 sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} - \frac{3 cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 sin^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Adicionar

3 cos (x)

a ambos os lados

2 sin^{2} (x) = 3 cos (x)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(2 sin^{2} (x))^{2} = (3 cos (x))^{2}

Subtrair

(3 cos (x))^{2}

de ambos os lados

4 sin^{4} (x) - 9 cos^{2} (x) = 0

Fatorar

4 sin^{4} (x) - 9 cos^{2} (x) : (2 sin^{2} (x) + 3 cos (x)) (2 sin^{2} (x) - 3 cos (x))

4 sin^{4} (x) - 9 cos^{2} (x)

Reescrever

4 sin^{4} (x) - 9 cos^{2} (x)

como

(2 sin^{2} (x))^{2} - (3 cos (x))^{2}

4 sin^{4} (x) - 9 cos^{2} (x)

Reescrever

4

como

2^{2}

= 2^{2} sin^{4} (x) - 9 cos^{2} (x)

Reescrever

9

como

3^{2}

= 2^{2} sin^{4} (x) - 3^{2} cos^{2} (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

= 2^{2} (sin^{2} (x))^{2} - 3^{2} cos^{2} (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} (sin^{2} (x))^{2} = (2 sin^{2} (x))^{2}

= (2 sin^{2} (x))^{2} - 3^{2} cos^{2} (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

3^{2} cos^{2} (x) = (3 cos (x))^{2}

= (2 sin^{2} (x))^{2} - (3 cos (x))^{2}

= (2 sin^{2} (x))^{2} - (3 cos (x))^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin^{2} (x))^{2} - (3 cos (x))^{2} = (2 sin^{2} (x) + 3 cos (x)) (2 sin^{2} (x) - 3 cos (x))

= (2 sin^{2} (x) + 3 cos (x)) (2 sin^{2} (x) - 3 cos (x))

(2 sin^{2} (x) + 3 cos (x)) (2 sin^{2} (x) - 3 cos (x)) = 0

Resolver cada parte separadamente

2 sin^{2} (x) + 3 cos (x) = 0 or 2 sin^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

2 sin^{2} (x) + 3 cos (x) = 0 : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

2 sin^{2} (x) + 3 cos (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

2 sin^{2} (x) + 3 cos (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 2 (1 - cos^{2} (x)) + 3 cos (x)

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 2 + 3 cos (x) = 0

Usando o método de substituição

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 2 + 3 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

(1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u = 0

(1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 2

(1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u = 0

Expandir

(1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u : 2 - 2 u^{2} + 3 u

(1 - u^{2}) \cdot 2 + 3 u

= 2 (1 - u^{2}) + 3 u

Expandir

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= 2 - 2 u^{2} + 3 u

2 - 2 u^{2} + 3 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 3 u + 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 2 u^{2} + 3 u + 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 2, b = 3, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

3^{2} - 4 (- 2) \cdot 2 = 5

3^{2} - 4 (- 2) \cdot 2

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 3^{2} + 16

3^{2} = 9

= 9 + 16

Somar:

9 + 16 = 25

= 25

Fatorar o número:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 5}{2 ( - 2 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 3 + 5}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 3 - 5}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 3 + 5}{2 ( - 2 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 3 + 5}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 3 + 5}{- 2 \cdot 2}

Somar/subtrair:

- 3 + 5 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 3 - 5}{2 ( - 2 )} : 2

\frac{- 3 - 5}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 3 - 5}{- 2 \cdot 2}

Subtrair:

- 3 - 5 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 8}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{4}

Dividir:

\frac{8}{4} = 2

= 2

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{1}{2}, u = 2

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = 2

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = 2

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = 2 :

Sem solução

cos (x) = 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

2 sin^{2} (x) - 3 cos (x) = 0 : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

2 sin^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

2 sin^{2} (x) - 3 cos (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 2 (1 - cos^{2} (x)) - 3 cos (x)

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 2 - 3 cos (x) = 0

Usando o método de substituição

(1 - cos^{2} (x)) \cdot 2 - 3 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u = 0

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u = 0 : u = - 2, u = \frac{1}{2}

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u = 0

Expandir

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u : 2 - 2 u^{2} - 3 u

(1 - u^{2}) \cdot 2 - 3 u

= 2 (1 - u^{2}) - 3 u

Expandir

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= 2 - 2 u^{2} - 3 u

2 - 2 u^{2} - 3 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - 3 u + 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 2 u^{2} - 3 u + 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 2, b = - 3, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

(- 3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 2 = 5

(- 3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 2

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 3^{2} + 16

3^{2} = 9

= 9 + 16

Somar:

9 + 16 = 25

= 25

Fatorar o número:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 5}{2 ( - 2 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 2 )} : - 2

\frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 + 5}{- 2 \cdot 2}

Somar:

3 + 5 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{8}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{4}

Dividir:

\frac{8}{4} = 2

= - 2

u = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 - 5}{- 2 \cdot 2}

Subtrair:

3 - 5 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - 2, u = \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = - 2, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - 2, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - 2 :

Sem solução

cos (x) = - 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

2 tan (x) = 3 csc (x)

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

\frac{2 π}{3} + 2 πn :

Falso

\frac{2 π}{3} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{2 π}{3} + 2 π 1

Para

2 tan (x) = 3 csc (x)

inserir

x = \frac{2 π}{3} + 2 π 1

2 tan (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) = 3 csc (\frac{2 π}{3} + 2 π 1)

Simplificar

- 3.46410 \dots = 3.46410 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

\frac{4 π}{3} + 2 πn :

Falso

\frac{4 π}{3} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{4 π}{3} + 2 π 1

Para

2 tan (x) = 3 csc (x)

inserir

x = \frac{4 π}{3} + 2 π 1

2 tan (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) = 3 csc (\frac{4 π}{3} + 2 π 1)

Simplificar

3.46410 \dots = - 3.46410 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

\frac{π}{3} + 2 πn :

Verdadeiro

\frac{π}{3} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{π}{3} + 2 π 1

Para

2 tan (x) = 3 csc (x)

inserir

x = \frac{π}{3} + 2 π 1

2 tan (\frac{π}{3} + 2 π 1) = 3 csc (\frac{π}{3} + 2 π 1)

Simplificar

3.46410 \dots = 3.46410 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

\frac{5 π}{3} + 2 πn :

Verdadeiro

\frac{5 π}{3} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

Para

2 tan (x) = 3 csc (x)

inserir

x = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

2 tan (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) = 3 csc (\frac{5 π}{3} + 2 π 1)

Simplificar

- 3.46410 \dots = - 3.46410 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

tan(θ)+1=sqrt(3)+sqrt(3)cot(θ)

tan (θ) + 1 = 3 + 3 cot (θ)

2-2cos^2(x)=2cos^2(x/2)

2 - 2 cos^{2} (x) = 2 cos^{2} (\frac{x}{2})

sin(x)+cos(x)=1.2,sin(2x)

sin (x) + cos (x) = 1.2, sin (2 x)

2cos(x)+3tan(x)=3sec(x)

2 cos (x) + 3 tan (x) = 3 sec (x)

14tan^2(x)=-14tan(x)

14 tan^{2} (x) = - 14 tan (x)