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Beliebt Trigonometrie >

-4cos(2θ)-sin(θ)+1=sin(θ)

Lösung

- 4 cos (2 θ) - sin (θ) + 1 = sin (θ)

Lösung

θ = 0.84806 \dots + 2 πn, θ = π - 0.84806 \dots + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grad

θ = 48.59037 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 131.40962 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 4 cos (2 θ) - sin (θ) + 1 = sin (θ)

Subtrahiere

sin (θ)

von beiden Seiten

- 4 cos (2 θ) - 2 sin (θ) + 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - 2 sin (θ) - 4 cos (2 θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (θ) - 4 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Vereinfache

1 - 2 sin (θ) - 4 (1 - 2 sin^{2} (θ)) : 8 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 3

1 - 2 sin (θ) - 4 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 4 (1 - 2 sin^{2} (θ)) : - 4 + 8 sin^{2} (θ)

- 4 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = 1, c = 2 sin^{2} (θ)

= - 4 \cdot 1 - (- 4) \cdot 2 sin^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Vereinfache

- 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 sin^{2} (θ) : - 4 + 8 sin^{2} (θ)

- 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= - 4 + 8 sin^{2} (θ)

= - 4 + 8 sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin (θ) - 4 + 8 sin^{2} (θ)

Vereinfache

1 - 2 sin (θ) - 4 + 8 sin^{2} (θ) : 8 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 3

1 - 2 sin (θ) - 4 + 8 sin^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 sin (θ) + 8 sin^{2} (θ) + 1 - 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 4 = - 3

= 8 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 3

= 8 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 3

= 8 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 3

- 3 - 2 sin (θ) + 8 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 3 - 2 sin (θ) + 8 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

- 3 - 2 u + 8 u^{2} = 0

- 3 - 2 u + 8 u^{2} = 0 : u = \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{2}

- 3 - 2 u + 8 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

8 u^{2} - 2 u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

8 u^{2} - 2 u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 8, b = - 2, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 3 )}{2 \cdot 8}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 3 )}{2 \cdot 8}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 8 (- 3) = 10

(- 2)^{2} - 4 \cdot 8 (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 8 \cdot 3 = 96

= 2^{2} + 96

2^{2} = 4

= 4 + 96

Addiere die Zahlen:

4 + 96 = 100

= 100

Faktorisiere die Zahl:

100 = 1 0^{2}

= 1 0^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 0^{2} = 10

= 10

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 10}{2 \cdot 8}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 10}{2 \cdot 8}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 10}{2 \cdot 8}

u = \frac{- ( - 2 ) + 10}{2 \cdot 8} : \frac{3}{4}

\frac{- ( - 2 ) + 10}{2 \cdot 8}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 10}{2 \cdot 8}

Addiere die Zahlen:

2 + 10 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{12}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{3}{4}

u = \frac{- ( - 2 ) - 10}{2 \cdot 8} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 10}{2 \cdot 8}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 10}{2 \cdot 8}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 10 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 8}{16}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = \frac{3}{4}, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{3}{4}, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{3}{4} : θ = arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{3}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{3}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{3}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 0.84806 \dots + 2 πn, θ = π - 0.84806 \dots + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

-2cos(x)+1=0

- 2 cos (x) + 1 = 0

18sin(t)cos(t)=6sin(t)

18 sin (t) cos (t) = 6 sin (t)

8sin(x)=sqrt(41-40cos(x))

8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

2sin^2(x)+9sin(x)+4=0

2 sin^{2} (x) + 9 sin (x) + 4 = 0

6sin(2x)=6cos(x)

6 sin (2 x) = 6 cos (x)