English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

8sin(x)=sqrt(41-40cos(x))

الحلّ

8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

الحلّ

x = 1.94286 \dots + 2 πn, x = 0.15153 \dots + 2 πn

درجات

x = 111.31781 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 8.68218 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

خطوات الحلّ

8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

ربّع الطرفين

(8 sin (x))^{2} = (41 - 40 cos (x))^{2}

من الطرفين

41 - 40 cos (x)^{2}

اطرح

64 sin^{2} (x) - 41 + 40 cos (x) = 0

Rewrite using trig identities

- 41 + 40 cos (x) + 64 sin^{2} (x)

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:فعّل نطريّة فيتاغوروس

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 41 + 40 cos (x) + 64 (1 - cos^{2} (x))

- 41 + 40 cos (x) + 64 (1 - cos^{2} (x))

بسّط:

40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) + 23

- 41 + 40 cos (x) + 64 (1 - cos^{2} (x))

64 (1 - cos^{2} (x))

وسٌع:

64 - 64 cos^{2} (x)

64 (1 - cos^{2} (x))

a (b - c) = ab - a c

: افتح أقواس بالاستعانة بـ

a = 64, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 64 \cdot 1 - 64 cos^{2} (x)

64 \cdot 1 = 64 :

اضرب الأعداد

= 64 - 64 cos^{2} (x)

= - 41 + 40 cos (x) + 64 - 64 cos^{2} (x)

- 41 + 40 cos (x) + 64 - 64 cos^{2} (x)

بسّط:

40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) + 23

- 41 + 40 cos (x) + 64 - 64 cos^{2} (x)

جمّع التعابير المتشابهة

= 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) - 41 + 64

- 41 + 64 = 23 :

اطرح/اجمع الأعداد

= 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) + 23

= 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) + 23

= 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) + 23

23 + 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) = 0

بالاستعانة بطريقة التعويض

23 + 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) = 0

cos (x) = u :

على افتراض أنّ

23 + 40 u - 64 u^{2} = 0

23 + 40 u - 64 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 5 + 3 13}{16}, u = \frac{5 + 3 13}{16}

23 + 40 u - 64 u^{2} = 0

a x^{2} + b x + c = 0

اكتب بالصورة الاعتياديّة

- 64 u^{2} + 40 u + 23 = 0

حلّ بالاستعانة بالصيغة التربيعيّة

- 64 u^{2} + 40 u + 23 = 0

الصيغة لحلّ المعادلة التربيعيّة

a = - 64, b = 40, c = 23

لـ

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 64 ) \cdot 23}{2 ( - 64 )}

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 64 ) \cdot 23}{2 ( - 64 )}

4 0^{2} - 4 (- 64) \cdot 23 = 2413

4 0^{2} - 4 (- 64) \cdot 23

- (- a) = a

فعّل القانون

= 4 0^{2} + 4 \cdot 64 \cdot 23

4 \cdot 64 \cdot 23 = 5888 :

اضرب الأعداد

= 4 0^{2} + 5888

4 0^{2} = 1600

= 1600 + 5888

1600 + 5888 = 7488 :

اجمع الأعداد

= 7488

7488

تحليل لعوامل أوّليّة لـ:

2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 13

7488

7488 = 3744 \cdot 2, 2

ينقسم على

7488

= 2 \cdot 3744

3744 = 1872 \cdot 2, 2

ينقسم على

3744

= 2 \cdot 2 \cdot 1872

1872 = 936 \cdot 2, 2

ينقسم على

1872

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 936

936 = 468 \cdot 2, 2

ينقسم على

936

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 468

468 = 234 \cdot 2, 2

ينقسم على

468

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 234

234 = 117 \cdot 2, 2

ينقسم على

234

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 117

117 = 39 \cdot 3, 3

ينقسم على

117

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 39

39 = 13 \cdot 3, 3

ينقسم على

39

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13

مركّب من أعداد أوّليّة فقط، لذلك تحليل إضافيّ غير ممكن

2, 3, 13

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 13

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 13

n ab = n a n b

:فعْل قانون الجذور

= 13 2^{6} 3^{2}

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

:فعْل قانون الجذور

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 13 3^{2}

n a^{n} = a

:فعْل قانون الجذور

3^{2} = 3

= 2^{3} \cdot 313

بسّط

= 2413

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 24 13}{2 ( - 64 )}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- 40 + 24 13}{2 ( - 64 )}, u_{2} = \frac{- 40 - 24 13}{2 ( - 64 )}

u = \frac{- 40 + 24 13}{2 ( - 64 )} : - \frac{- 5 + 3 13}{16}

\frac{- 40 + 24 13}{2 ( - 64 )}

(- a) = - a

:احذف الأقواس

= \frac{- 40 + 24 13}{- 2 \cdot 64}

2 \cdot 64 = 128 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 40 + 24 13}{- 128}

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{- 40 + 24 13}{128}

\frac{- 40 + 24 13}{128}

اختزل:

\frac{3 13 - 5}{16}

\frac{- 40 + 24 13}{128}

- 40 + 2413

حلل إلى عوامل:

8 (- 5 + 313)

- 40 + 2413

أعد الكتابة كـ

= - 8 \cdot 5 + 8 \cdot 313

8

قم باخراج العامل المشترك

= 8 (- 5 + 313)

= \frac{8 ( - 5 + 3 13 )}{128}

8 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{- 5 + 3 13}{16}

= - \frac{3 13 - 5}{16}

= - \frac{- 5 + 3 13}{16}

u = \frac{- 40 - 24 13}{2 ( - 64 )} : \frac{5 + 3 13}{16}

\frac{- 40 - 24 13}{2 ( - 64 )}

(- a) = - a

:احذف الأقواس

= \frac{- 40 - 24 13}{- 2 \cdot 64}

2 \cdot 64 = 128 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 40 - 24 13}{- 128}

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

- 40 - 2413 = - (40 + 2413)

= \frac{40 + 24 13}{128}

40 + 2413

حلل إلى عوامل:

8 (5 + 313)

40 + 2413

أعد الكتابة كـ

= 8 \cdot 5 + 8 \cdot 313

8

قم باخراج العامل المشترك

= 8 (5 + 313)

= \frac{8 ( 5 + 3 13 )}{128}

8 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{5 + 3 13}{16}

حلول المعادلة التربيعيّة هي

u = - \frac{- 5 + 3 13}{16}, u = \frac{5 + 3 13}{16}

u = cos (x)

استبدل مجددًا

cos (x) = - \frac{- 5 + 3 13}{16}, cos (x) = \frac{5 + 3 13}{16}

cos (x) = - \frac{- 5 + 3 13}{16}, cos (x) = \frac{5 + 3 13}{16}

cos (x) = - \frac{- 5 + 3 13}{16} : x = arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 5 + 3 13}{16}

Apply trig inverse properties

cos (x) = - \frac{- 5 + 3 13}{16}

cos (x) = - \frac{- 5 + 3 13}{16} :

حلول عامّة لـ

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn

cos (x) = \frac{5 + 3 13}{16} : x = arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

cos (x) = \frac{5 + 3 13}{16}

Apply trig inverse properties

cos (x) = \frac{5 + 3 13}{16}

cos (x) = \frac{5 + 3 13}{16} :

حلول عامّة لـ

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

x = arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

وحّد الحلول

x = arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

تأكّد من صحّة الحلول عن طريق تعويضها في المعادلة الأصليّة

للتحقّق من دقّة الحلول

8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

عوّض الحلول في

إلغي الحلول التي تعطي قضيّة كذب

arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn

افحص الحل:

صحيح

arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn

n = 1

استبدل

arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

x = arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

عوّض

, 8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

في

8 sin (arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1) = 41 - 40 cos (arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1)

بسّط

7.45262 \dots = 7.45262 \dots

\Rightarrow صحيح

- arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn

افحص الحل:

خطأ

- arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn

n = 1

استبدل

- arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

x = - arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

عوّض

, 8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

في

8 sin (- arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1) = 41 - 40 cos (- arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1)

بسّط

- 7.45262 \dots = 7.45262 \dots

\Rightarrow خطأ

arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

افحص الحل:

صحيح

arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

n = 1

استبدل

arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

x = arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

عوّض

, 8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

في

8 sin (arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1) = 41 - 40 cos (arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1)

بسّط

1.20762 \dots = 1.20762 \dots

\Rightarrow صحيح

2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

افحص الحل:

خطأ

2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

n = 1

استبدل

2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

x = 2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

عوّض

, 8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

في

8 sin (2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1) = 41 - 40 cos (2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1)

بسّط

- 1.20762 \dots = 1.20762 \dots

\Rightarrow خطأ

x = arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

أظهر الحلّ بالتمثيل العشريّ

x = 1.94286 \dots + 2 πn, x = 0.15153 \dots + 2 πn

رسم

أمثلة شائعة

2sin^2(x)+9sin(x)+4=0

2 sin^{2} (x) + 9 sin (x) + 4 = 0

6sin(2x)=6cos(x)

6 sin (2 x) = 6 cos (x)

cot(θ)= 5/12

cot (θ) = \frac{5}{12}

tan(x)=(7.4)/(9.3)

tan (x) = \frac{7.4}{9.3}

tan^4(x)-1=0

tan^{4} (x) - 1 = 0