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Beliebt Trigonometrie >

cos(2x)=sec(x)

Lösung

cos (2 x) = sec (x)

Lösung

x = 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (2 x) = sec (x)

Subtrahiere

sec (x)

von beiden Seiten

cos (2 x) - sec (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (2 x) - sec (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= cos (2 x) - \frac{1}{cos ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (x) - 1 - \frac{1}{cos ( x )}

- 1 - \frac{1}{cos ( x )} + 2 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 1 - \frac{1}{cos ( x )} + 2 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 1 \cdot u - \frac{1}{u} u + 2 u^{2} u = 0 \cdot u

Vereinfache

- 1 \cdot u - \frac{1}{u} u + 2 u^{2} u = 0 \cdot u

Vereinfache

- 1 \cdot u : - u

- 1 \cdot u

Multipliziere:

1 \cdot u = u

= - u

Vereinfache

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= - 1

Vereinfache

2 u^{2} u : 2 u^{3}

2 u^{2} u

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 2 u^{2 + 1}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 u^{3}

Vereinfache

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

Löse

- u - 1 + 2 u^{3} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

2 u^{3} - u - 1 = 0

Faktorisiere

2 u^{3} - u - 1 : (u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1)

2 u^{3} - u - 1

Wende den rationalen Nullstellentest an

a_{0} = 1, a_{n} = 2

Die Teiler von

a_{0} : 1,

Die Teiler von

a_{n} : 1, 2

Deshalb, überprüfe die folgenden rationalen Zahlen:

\pm \frac{1}{1 , 2}

\frac{1}{1}

ist eine Wurzel des Ausdrucks, deshalb klammere aus

u - 1

= (u - 1) \frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1}

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + 2 u + 1

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1}

Dividiere

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

2 u^{3} - u - 1

und des Teilers

u - 1 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

Quotient = 2 u^{2}

Multipliziere

u - 1

mit

2 u^{2} : 2 u^{3} - 2 u^{2}

Substrahiere

2 u^{3} - 2 u^{2}

von

2 u^{3} - u - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 2 u^{2} - u - 1

Deshalb

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

= 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Dividiere

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

2 u^{2} - u - 1

und des Teilers

u - 1 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Quotient = 2 u

Multipliziere

u - 1

mit

2 u : 2 u^{2} - 2 u

Substrahiere

2 u^{2} - 2 u

von

2 u^{2} - u - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = u - 1

Deshalb

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= 2 u^{2} + 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividiere

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

u - 1

und des Teilers

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Quotient = 1

Multipliziere

u - 1

mit

1 : u - 1

Substrahiere

u - 1

von

u - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 0

Deshalb

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= 2 u^{2} + 2 u + 1

= (u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1)

(u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u - 1 = 0 or 2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Löse

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Löse

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Vereinfache

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 : 2 i

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} - 8

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- a = i a

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 8 = 4

= 4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

\frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 + 2 i}{4}

Faktorisiere

- 2 + 2 i : 2 (- 1 + i)

- 2 + 2 i

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 2 i

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + i)

= \frac{2 ( - 1 + i )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 1 + i}{2}

Schreibe

\frac{- 1 + i}{2}

in der Standard komplexen Form um:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

\frac{- 1 + i}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

u = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

\frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 - 2 i}{4}

Faktorisiere

- 2 - 2 i : - 2 (1 + i)

- 2 - 2 i

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 - 2 i

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (1 + i)

= - \frac{2 ( 1 + i )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1 + i}{2}

Schreibe

- \frac{1 + i}{2}

in der Standard komplexen Form um:

- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

- \frac{1 + i}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + i}{2} = - (\frac{1}{2}) - (\frac{i}{2})

= - (\frac{1}{2}) - (\frac{i}{2})

Entferne die Klammern:

(a) = a

= - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Die Lösungen sind

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3cos^2(x)-6cos(x)+3=0

3 cos^{2} (x) - 6 cos (x) + 3 = 0

14sin(x+pi/2)+21tan(pi-x)=0

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8cos^3(x)=8cos(x)

8 cos^{3} (x) = 8 cos (x)

4cos(2θ)=cos^2(θ)-2

4 cos (2 θ) = cos^{2} (θ) - 2

2cos^2(x)+sin(x)=1,0<= x<= 2pi

2 cos^{2} (x) + sin (x) = 1, 0 \leq x \leq 2 π