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beweisen sin(x)(csc(x)-sin(x))=cos^2(x)

Lösung

beweisen

sin (x) (csc (x) - sin (x)) = cos^{2} (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (x) (csc (x) - sin (x)) = cos^{2} (x)

Manipuliere die linke Seite

sin (x) (csc (x) - sin (x))

Drücke mit sin, cos aus

(csc (x) - sin (x)) sin (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (\frac{1}{sin ( x )} - sin (x)) sin (x)

Vereinfache

(\frac{1}{sin ( x )} - sin (x)) sin (x) : 1 - sin^{2} (x)

(\frac{1}{sin ( x )} - sin (x)) sin (x)

Füge

\frac{1}{sin ( x )} - sin (x)

zusammen:

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} - sin (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (x) = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} - \frac{sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

1 - sin (x) sin (x) = 1 - sin^{2} (x)

1 - sin (x) sin (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x )} sin (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 1 - sin ^{2} ( x ) ) sin ( x )}{sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= 1 - sin^{2} (x)

= 1 - sin^{2} (x)

= 1 - sin^{2} (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= cos^{2} (x)

= cos^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cot (x) - tan (x) = sec (x) (csc (x) - 2 sin (x))

p ro v e 1 + cot^{2} (- θ) = csc^{2} (θ)

p ro v e cos (x) (1 + tan^{2} (x)) = sec (x)

p ro v e (sec^{2} (x) - 1) csc (x) = sin (x) sec^{2} (x)

p ro v e \frac{1 + csc ( x )}{sec ( x )} - cot (x) = cos (x)