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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (1+cos(x))/(1-cos(x))-(1-cos(x))/(1+cos(x))=4cot(x)csc(x)

Lösung

beweisen

\frac{1 + cos ( x )}{1 - cos ( x )} - \frac{1 - cos ( x )}{1 + cos ( x )} = 4 cot (x) csc (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 + cos ( x )}{1 - cos ( x )} - \frac{1 - cos ( x )}{1 + cos ( x )} = 4 cot (x) csc (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 + cos ( x )}{1 - cos ( x )} - \frac{1 - cos ( x )}{1 + cos ( x )}

Vereinfache

\frac{1 + cos ( x )}{1 - cos ( x )} - \frac{1 - cos ( x )}{1 + cos ( x )} : \frac{4 cos ( x )}{( - cos ( x ) + 1 ) ( cos ( x ) + 1 )}

\frac{1 + cos ( x )}{1 - cos ( x )} - \frac{1 - cos ( x )}{1 + cos ( x )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1 - cos (x), 1 + cos (x) : (- cos (x) + 1) (cos (x) + 1)

1 - cos (x), 1 + cos (x)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

1 - cos (x)

oder

1 + cos (x)

auftauchen.

= (- cos (x) + 1) (cos (x) + 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

(- cos (x) + 1) (cos (x) + 1)

Für

\frac{1 + cos ( x )}{1 - cos ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (x) + 1

\frac{1 + cos ( x )}{1 - cos ( x )} = \frac{( 1 + cos ( x ) ) ( cos ( x ) + 1 )}{( 1 - cos ( x ) ) ( cos ( x ) + 1 )} = \frac{( 1 + cos ( x ) ) ^{2}}{( - cos ( x ) + 1 ) ( cos ( x ) + 1 )}

Für

\frac{1 - cos ( x )}{1 + cos ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

- cos (x) + 1

\frac{1 - cos ( x )}{1 + cos ( x )} = \frac{( 1 - cos ( x ) ) ( - cos ( x ) + 1 )}{( 1 + cos ( x ) ) ( - cos ( x ) + 1 )} = \frac{( 1 - cos ( x ) ) ^{2}}{( - cos ( x ) + 1 ) ( cos ( x ) + 1 )}

= \frac{( 1 + cos ( x ) ) ^{2}}{( - cos ( x ) + 1 ) ( cos ( x ) + 1 )} - \frac{( 1 - cos ( x ) ) ^{2}}{( - cos ( x ) + 1 ) ( cos ( x ) + 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( 1 + cos ( x ) ) ^{2} - ( 1 - cos ( x ) ) ^{2}}{( - cos ( x ) + 1 ) ( cos ( x ) + 1 )}

Multipliziere aus

(1 + cos (x))^{2} - (1 - cos (x))^{2} : 4 cos (x)

(1 + cos (x))^{2} - (1 - cos (x))^{2}

(1 + cos (x))^{2} : 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = cos (x)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

Vereinfache

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x) : 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - (1 - cos (x))^{2}

(1 - cos (x))^{2} : 1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = cos (x)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

Vereinfache

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x) : 1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - (1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x))

- (1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x)) : - 1 + 2 cos (x) - cos^{2} (x)

- (1 - 2 cos (x) + cos^{2} (x))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 cos (x)) - (cos^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 cos (x) - cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 1 + 2 cos (x) - cos^{2} (x)

Vereinfache

1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 1 + 2 cos (x) - cos^{2} (x) : 4 cos (x)

1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 1 + 2 cos (x) - cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos (x) + cos^{2} (x) + 2 cos (x) - cos^{2} (x) + 1 - 1

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (x) - cos^{2} (x) = 0

= 2 cos (x) + 2 cos (x) + 1 - 1

Addiere gleiche Elemente:

2 cos (x) + 2 cos (x) = 4 cos (x)

= 4 cos (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 4 cos (x)

= 4 cos (x)

= \frac{4 cos ( x )}{( - cos ( x ) + 1 ) ( cos ( x ) + 1 )}

= \frac{4 cos ( x )}{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{4 cos ( x )}{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}

Multipliziere aus

(1 + cos (x)) (1 - cos (x)) : 1 - cos^{2} (x)

(1 + cos (x)) (1 - cos (x))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = cos (x)

= 1^{2} - cos^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - cos^{2} (x)

= \frac{4 cos ( x )}{1 - cos ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{4 cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{4 cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

4 cot (x) csc (x)

Drücke mit sin, cos aus

4 cot (x) csc (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= 4 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} csc (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= 4 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )}

Vereinfache

4 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )} : \frac{4 cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

4 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{cos ( x ) \cdot 1 \cdot 4}{sin ( x ) sin ( x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4 cos ( x )}{sin ( x ) sin ( x )}

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= \frac{4 cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{4 cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{4 cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cos(z+w)=cos(z)cos(w)-sin(z)sin(w)

p ro v e cos (z + w) = cos (z) cos (w) - sin (z) sin (w)

beweisen tan(pi-θ)=-tan(θ)

p ro v e tan (π - θ) = - tan (θ)

beweisen (sin(θ))/(1-cos(θ))=csc(θ)+cot(θ)

p ro v e \frac{sin ( θ )}{1 - cos ( θ )} = csc (θ) + cot (θ)

beweisen cos^2(5x)-sin^2(5x)=cos(10x)

p ro v e cos^{2} (5 x) - sin^{2} (5 x) = cos (10 x)

beweisen tan(2a)-tan(a)=tan(a)sec(2a)

p ro v e tan (2 a) - tan (a) = tan (a) sec (2 a)