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Popolare Trigonometria >

dimostrare (cos(θ))/(1-sin(θ))=(sin(θ)-csc(θ))/(cos(θ)-cot(θ))

Soluzione

dimostrare

\frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} = \frac{sin ( θ ) - csc ( θ )}{cos ( θ ) - cot ( θ )}

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

\frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} = \frac{sin ( θ ) - csc ( θ )}{cos ( θ ) - cot ( θ )}

Manipolando il lato destro

\frac{sin ( θ ) - csc ( θ )}{cos ( θ ) - cot ( θ )}

Esprimere con sen e cos

\frac{- csc ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ ) - cot ( θ )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{- \frac{1}{s i n ( θ )} + sin ( θ )}{cos ( θ ) - cot ( θ )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- \frac{1}{s i n ( θ )} + sin ( θ )}{cos ( θ ) - \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}

Semplifica

\frac{- \frac{1}{s i n ( θ )} + sin ( θ )}{cos ( θ ) - \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}} : \frac{sin ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

\frac{- \frac{1}{s i n ( θ )} + sin ( θ )}{cos ( θ ) - \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}

Unisci

cos (θ) - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} : \frac{cos ( θ ) sin ( θ ) - cos ( θ )}{sin ( θ )}

cos (θ) - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Converti l'elemento in frazione:

cos (θ) = \frac{cos ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) sin ( θ ) - cos ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{- \frac{1}{s i n ( θ )} + sin ( θ )}{\frac{c o s ( θ ) s i n ( θ ) - c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}

Unisci

- \frac{1}{sin ( θ )} + sin (θ) : \frac{- 1 + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

- \frac{1}{sin ( θ )} + sin (θ)

Converti l'elemento in frazione:

sin (θ) = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

= - \frac{1}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 + sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

- 1 + sin (θ) sin (θ) = - 1 + sin^{2} (θ)

- 1 + sin (θ) sin (θ)

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= - 1 + sin^{2} (θ)

= \frac{- 1 + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{\frac{- 1 + s i n ^{2} ( θ )}{s i n ( θ )}}{\frac{c o s ( θ ) s i n ( θ ) - c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}

Dividi le frazioni:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - 1 + sin ^{2} ( θ ) ) sin ( θ )}{sin ( θ ) ( cos ( θ ) sin ( θ ) - cos ( θ ) )}

Cancella il fattore comune:

sin (θ)

= \frac{- 1 + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ ) - cos ( θ )}

Fattorizza

- 1 + sin^{2} (θ) : (sin (θ) + 1) (sin (θ) - 1)

- 1 + sin^{2} (θ)

Riscrivi

1

come

1^{2}

= sin^{2} (θ) - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (θ) - 1^{2} = (sin (θ) + 1) (sin (θ) - 1)

= (sin (θ) + 1) (sin (θ) - 1)

= \frac{( sin ( θ ) + 1 ) ( sin ( θ ) - 1 )}{cos ( θ ) sin ( θ ) - cos ( θ )}

Fattorizzare dal termine comune

cos (θ)

= \frac{( sin ( θ ) + 1 ) ( sin ( θ ) - 1 )}{cos ( θ ) ( sin ( θ ) - 1 )}

Cancella il fattore comune:

sin (θ) - 1

= \frac{sin ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

= \frac{1 + sin ( θ )}{cos ( θ )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

Moltiplica per

\frac{1 - sin ( θ )}{1 - sin ( θ )}

= \frac{( 1 + sin ( θ ) ) ( 1 - sin ( θ ) )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

Espandi

(1 + sin (θ)) (1 - sin (θ)) : 1 - sin^{2} (θ)

(1 + sin (θ)) (1 - sin (θ))

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (θ)

= 1^{2} - sin^{2} (θ)

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (θ)

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

1 - sin^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

Cancella il fattore comune:

cos (θ)

= \frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare (cot(θ)sec(θ))/(csc(θ))=1

p ro v e \frac{cot ( θ ) sec ( θ )}{csc ( θ )} = 1

dimostrare sin^2(x)cos(x)sec(x)=1-cos^2(x)

p ro v e sin^{2} (x) cos (x) sec (x) = 1 - cos^{2} (x)

dimostrare 6sin(x)cos(x)=3sin(2x)

p ro v e 6 sin (x) cos (x) = 3 sin (2 x)

dimostrare (tan^2(θ))/(sec(θ))=sin(θ)tan(θ)

p ro v e \frac{tan ^{2} ( θ )}{sec ( θ )} = sin (θ) tan (θ)

dimostrare csc^2(x)(1-sin^2(x))=cot^2(x)

p ro v e csc^{2} (x) (1 - sin^{2} (x)) = cot^{2} (x)