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Popolare Trigonometria >

dimostrare sin(3x)=(sin(x))(4cos^2(x)-1)

Soluzione

dimostrare

sin (3 x) = (sin (x)) (4 cos^{2} (x) - 1)

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

sin (3 x) = sin (x) (4 cos^{2} (x) - 1)

Manipolando il lato sinistro

sin (3 x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin (3 x)

Usare l'identità seguente:

sin (3 x) = - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

sin (3 x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin (3 x)

Riscrivi come

= sin (2 x + x)

Usa la formula della somma degli angoli:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (2 x) cos (x) + cos (2 x) sin (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x)

= (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x)

Espandi

(cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x) : - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

(cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x)

2 cos (x) cos (x) sin (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

2 cos (x) cos (x) sin (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 cos^{1 + 1} (x) sin (x)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Espandi

sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) : cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x)

sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = sin (x), b = cos^{2} (x), c = sin^{2} (x)

= sin (x) cos^{2} (x) - sin (x) sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) sin (x) - sin^{2} (x) sin (x)

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{3} (x)

sin^{2} (x) sin (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= sin^{2 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= sin^{3} (x)

= cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x)

= cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Semplifica

cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x) : - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Raggruppa termini simili

= - sin^{3} (x) + cos^{2} (x) sin (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Aggiungi elementi simili:

cos^{2} (x) sin (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x) = 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

Fattorizza

- sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x) : sin (x) (- sin^{2} (x) + 3 cos^{2} (x))

- sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{3} (x) = sin (x) sin^{2} (x)

= - sin (x) sin^{2} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

Fattorizzare dal termine comune

sin (x)

= sin (x) (- sin^{2} (x) + 3 cos^{2} (x))

= (- sin^{2} (x) + 3 cos^{2} (x)) sin (x)

Manipolando il lato destro

sin (x) (4 cos^{2} (x) - 1)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin (x) (4 cos^{2} (x) - 1)

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

= sin (x) (4 cos^{2} (x) - cos^{2} (x) + sin^{2} (x))

Aggiungi elementi simili:

4 cos^{2} (x) - cos^{2} (x) = 3 cos^{2} (x)

= sin (x) (3 cos^{2} (x) + sin^{2} (x))

= sin (x) (3 cos^{2} (x) + sin^{2} (x))

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare tan(x+pi/2)=-cot(x)

p ro v e tan (x + \frac{π}{2}) = - cot (x)

dimostrare (cos(pi-x))/(cos(pi/2+x))=cot(x)

p ro v e \frac{cos ( π - x )}{cos ( \frac{π}{2} + x )} = cot (x)

dimostrare cot(θ)+tan(θ)=2csc(2θ)

p ro v e cot (θ) + tan (θ) = 2 csc (2 θ)

dimostrare cos(x)(tan(x)-sec(-x))=sin(x)-1

p ro v e cos (x) (tan (x) - sec (- x)) = sin (x) - 1

dimostrare 1/(sec^2(x))+1/(csc^2(x))=1

p ro v e \frac{1}{sec ^{2} ( x )} + \frac{1}{csc ^{2} ( x )} = 1