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Beliebt Trigonometrie >

beweisen 1-tan^2(θ/2)=(2cos(θ))/(1+cos(θ))

Lösung

beweisen

1 - tan^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{2 cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

1 - tan^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{2 cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Angenommen:

u = \frac{θ}{2}

1 - tan^{2} (u) = \frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Beweise

1 - tan^{2} (u) = \frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )} :

Wahr

1 - tan^{2} (u) = \frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Manipuliere die linke Seite

1 - tan^{2} (u)

Drücke mit sin, cos aus

1 - tan^{2} (u)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 1 - (\frac{sin ( u )}{cos ( u )})^{2}

Vereinfache

1 - (\frac{sin ( u )}{cos ( u )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

1 - (\frac{sin ( u )}{cos ( u )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 - \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )} - \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (u) = cos^{2} (u)

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( u ) - ( 1 - cos ^{2} ( u ) )}{cos ^{2} ( u )}

Multipliziere aus

cos^{2} (u) - (1 - cos^{2} (u)) : 2 cos^{2} (u) - 1

cos^{2} (u) - (1 - cos^{2} (u))

- (1 - cos^{2} (u)) : - 1 + cos^{2} (u)

- (1 - cos^{2} (u))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos^{2} (u))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (u)

= cos^{2} (u) - 1 + cos^{2} (u)

Vereinfache

cos^{2} (u) - 1 + cos^{2} (u) : 2 cos^{2} (u) - 1

cos^{2} (u) - 1 + cos^{2} (u)

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos^{2} (u) + cos^{2} (u) - 1

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (u) + cos^{2} (u) = 2 cos^{2} (u)

= 2 cos^{2} (u) - 1

= 2 cos^{2} (u) - 1

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{2 ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}

Vereinfache

\frac{2 ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1} : \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

\frac{2 ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}

1 + 2 cos^{2} (u) - 1 = 2 cos^{2} (u)

1 + 2 cos^{2} (u) - 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (u) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (u)

= \frac{2 ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{2 cos ^{2} ( u )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Deshalb

1 - tan^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{2 cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen sin(x+y)sec(x)sec(y)=tan(x)+tan(y)

p ro v e sin (x + y) sec (x) sec (y) = tan (x) + tan (y)

beweisen (cos(x))/(1-sin^2(x))=sec(x)

p ro v e \frac{cos ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )} = sec (x)

beweisen tan(2x)-2tan(2x)sin^2(x)=sin(2x)

p ro v e tan (2 x) - 2 tan (2 x) sin^{2} (x) = sin (2 x)

beweisen cot^2(θ)csc^2(θ)-cot^2(θ)=cot^4(θ)

p ro v e cot^{2} (θ) csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ) = cot^{4} (θ)

beweisen sin(x-pi)=-sin(x)

p ro v e sin (x - π) = - sin (x)