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Popolare Trigonometria >

dimostrare cos(x-pi/6)-cos(x+pi/6)=sin(x)

Soluzione

dimostrare

cos (x - \frac{π}{6}) - cos (x + \frac{π}{6}) = sin (x)

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

cos (x - \frac{π}{6}) - cos (x + \frac{π}{6}) = sin (x)

Manipolando il lato sinistro

cos (x - \frac{π}{6}) - cos (x + \frac{π}{6})

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (x - \frac{π}{6})

Usa la formula della differenza degli angoli:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= cos (x) cos (\frac{π}{6}) + sin (x) sin (\frac{π}{6})

Semplifica

cos (x) cos (\frac{π}{6}) + sin (x) sin (\frac{π}{6}) : \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)

cos (x) cos (\frac{π}{6}) + sin (x) sin (\frac{π}{6})

Semplifica

cos (\frac{π}{6}) : \frac{3}{2}

cos (\frac{π}{6})

Usare la seguente identità triviale:

cos (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

= \frac{3}{2} cos (x) + sin (\frac{π}{6}) sin (x)

Semplifica

sin (\frac{π}{6}) : \frac{1}{2}

sin (\frac{π}{6})

Usare la seguente identità triviale:

sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)

= \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)

= \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) - cos (x + \frac{π}{6})

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (x + \frac{π}{6})

Usa la formula della somma degli angoli:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (x) cos (\frac{π}{6}) - sin (x) sin (\frac{π}{6})

Semplifica

cos (x) cos (\frac{π}{6}) - sin (x) sin (\frac{π}{6}) : \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)

cos (x) cos (\frac{π}{6}) - sin (x) sin (\frac{π}{6})

Semplifica

cos (\frac{π}{6}) : \frac{3}{2}

cos (\frac{π}{6})

Usare la seguente identità triviale:

cos (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

= \frac{3}{2} cos (x) - sin (\frac{π}{6}) sin (x)

Semplifica

sin (\frac{π}{6}) : \frac{1}{2}

sin (\frac{π}{6})

Usare la seguente identità triviale:

sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)

= \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)

= \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) - (\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x))

Semplifica

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) - (\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)) : sin (x)

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) - (\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x))

- (\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)) : - \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)

- (\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x))

Distribuire le parentesi

= - (\frac{3}{2} cos (x)) - (- \frac{1}{2} sin (x))

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a, - (a) = - a

= - \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)

= \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) - \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)

Semplifica

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) - \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) : sin (x)

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) - \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)

Raggruppa termini simili

= \frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} sin (x) + \frac{3}{2} cos (x) - \frac{3}{2} cos (x)

Aggiungi elementi simili:

\frac{3}{2} cos (x) - \frac{3}{2} cos (x) = 0

\frac{3}{2} cos (x) - \frac{3}{2} cos (x)

Fattorizzare dal termine comune

cos (x)

= cos (x) (\frac{3}{2} - \frac{3}{2})

\frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0

\frac{3}{2} - \frac{3}{2}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 3}{2}

Fattorizza

3 - 3 : 0

3 - 3

Fattorizzare dal termine comune

3

= 3 (1 - 1)

Affinare

= 0

= \frac{0}{2}

Applicare la regola

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

= 0

= \frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} sin (x)

Aggiungi elementi simili:

\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} sin (x) = sin (x)

\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} sin (x)

Fattorizzare dal termine comune

sin (x)

= sin (x) (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

\frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 1}{2}

Affinare

= 1

= sin (x)

= sin (x)

= sin (x)

= sin (x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare tan(2θ)=(2tan(θ))/(1-tan^2(θ))

p ro v e tan (2 θ) = \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

dimostrare 1-tan^2(x)=2-sec^2(x)

p ro v e 1 - tan^{2} (x) = 2 - sec^{2} (x)

dimostrare cos(θ)=cos(-θ)

p ro v e cos (θ) = cos (- θ)

dimostrare 4cos^3(x)-3cos(x)=cos(3x)

p ro v e 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x) = cos (3 x)

dimostrare csc^2(-θ)-1=cot^2(θ)

p ro v e csc^{2} (- θ) - 1 = cot^{2} (θ)