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Popolare Trigonometria >

dimostrare 2tan(x)sec(x)= 1/(1-sin(x))-1/(1+sin(x))

Soluzione

dimostrare

2 tan (x) sec (x) = \frac{1}{1 - sin ( x )} - \frac{1}{1 + sin ( x )}

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

2 tan (x) sec (x) = \frac{1}{1 - sin ( x )} - \frac{1}{1 + sin ( x )}

Manipolando il lato sinistro

2 tan (x) sec (x)

Esprimere con sen e cos

2 sec (x) tan (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= 2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} tan (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Semplifica

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x ) cos ( x )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 sin ( x )}{cos ( x ) cos ( x )}

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Manipolando il lato destro

\frac{1}{1 - sin ( x )} - \frac{1}{1 + sin ( x )}

Semplifica

- \frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )} : \frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

- \frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )}

Minimo Comune Multiplo di

1 + sin (x), 1 - sin (x) : (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

1 + sin (x), 1 - sin (x)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

1 + sin (x)

1 - sin (x)

= (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

(sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

Per

\frac{1}{1 + sin ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

- sin (x) + 1

\frac{1}{1 + sin ( x )} = \frac{1 \cdot ( - sin ( x ) + 1 )}{( 1 + sin ( x ) ) ( - sin ( x ) + 1 )} = \frac{- sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Per

\frac{1}{1 - sin ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

sin (x) + 1

\frac{1}{1 - sin ( x )} = \frac{1 \cdot ( sin ( x ) + 1 )}{( 1 - sin ( x ) ) ( sin ( x ) + 1 )} = \frac{sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= - \frac{- sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )} + \frac{sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- ( - sin ( x ) + 1 ) + sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Espandi

- (- sin (x) + 1) + sin (x) + 1 : 2 sin (x)

- (- sin (x) + 1) + sin (x) + 1

- (- sin (x) + 1) : sin (x) - 1

- (- sin (x) + 1)

Distribuire le parentesi

= - (- sin (x)) - (1)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a, - (a) = - a

= sin (x) - 1

= sin (x) - 1 + sin (x) + 1

Semplifica

sin (x) - 1 + sin (x) + 1 : 2 sin (x)

sin (x) - 1 + sin (x) + 1

Raggruppa termini simili

= sin (x) + sin (x) - 1 + 1

Aggiungi elementi simili:

sin (x) + sin (x) = 2 sin (x)

= 2 sin (x) - 1 + 1

- 1 + 1 = 0

= 2 sin (x)

= 2 sin (x)

= \frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{2 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{2 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Espandi

(1 + sin (x)) (1 - sin (x)) : 1 - sin^{2} (x)

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - sin^{2} (x)

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare 1/(sin(x)cot(x))= 1/(cos(x))

p ro v e \frac{1}{sin ( x ) cot ( x )} = \frac{1}{cos ( x )}

dimostrare (csc^2(x)-1)/(csc^2(x))=cos^2(x)

p ro v e \frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ^{2} ( x )} = cos^{2} (x)

dimostrare cos(3α)=4cos^3(α)-3cos(α)

p ro v e cos (3 α) = 4 cos^{3} (α) - 3 cos (α)

dimostrare (tan(x)-sin(-x))/(1+cos(x))=tan(x)

p ro v e \frac{tan ( x ) - sin ( - x )}{1 + cos ( x )} = tan (x)

dimostrare tan(2a)=(2tan(a))/(1-tan^2(a))

p ro v e tan (2 a) = \frac{2 tan ( a )}{1 - tan ^{2} ( a )}