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beweisen cos(x)tan^2(x)+cos(x)=sec(x)

Lösung

beweisen

cos (x) tan^{2} (x) + cos (x) = sec (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (x) tan^{2} (x) + cos (x) = sec (x)

Manipuliere die linke Seite

cos (x) tan^{2} (x) + cos (x)

Drücke mit sin, cos aus

cos (x) + cos (x) tan^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= cos (x) + cos (x) (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Vereinfache

cos (x) + cos (x) (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

cos (x) + cos (x) (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

cos (x) (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

cos (x) (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} cos (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= cos (x) + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (x) = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) cos ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

cos (x) cos (x) + sin^{2} (x) = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

cos (x) cos (x) + sin^{2} (x)

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( x )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (x)

sec (x)

sec (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos^{2} (x) csc (x) - csc (x) = - sin (x)

p ro v e cot (- x) cos (- x) + sin (- x) = - csc (x)

p ro v e \frac{1 - tan ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )} = cos (2 x)

p ro v e \frac{sin ( \frac{π}{2} + x )}{sin ( π - x )} = cot (x)

p ro v e sin (4 x) = 4 sin (x) cos (x) cos (2 x)