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beweisen cos^2(x)csc(x)-csc(x)=-sin(x)

Lösung

beweisen

cos^{2} (x) csc (x) - csc (x) = - sin (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

cos^{2} (x) csc (x) - csc (x) = - sin (x)

Manipuliere die linke Seite

cos^{2} (x) csc (x) - csc (x)

Drücke mit sin, cos aus

- csc (x) + cos^{2} (x) csc (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{1}{sin ( x )} + cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )}

Vereinfache

- \frac{1}{sin ( x )} + cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )} : \frac{- 1 + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

- \frac{1}{sin ( x )} + cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )}

cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{1}{sin ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- 1 + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- 1 + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{- 1 + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{- sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Vereinfache

\frac{- sin ^{2} ( x )}{sin ( x )} : - sin (x)

\frac{- sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= - sin (x)

= - sin (x)

= - sin (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cot (- x) cos (- x) + sin (- x) = - csc (x)

p ro v e \frac{1 - tan ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )} = cos (2 x)

p ro v e \frac{sin ( \frac{π}{2} + x )}{sin ( π - x )} = cot (x)

p ro v e sin (4 x) = 4 sin (x) cos (x) cos (2 x)

p ro v e \frac{cot ( - θ )}{csc ( θ )} = - cos (θ)