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Beliebt Trigonometrie >

beweisen sec^2(α)+csc^2(α)= 1/(sin^2(α)cos^2(α))

Lösung

beweisen

sec^{2} (α) + csc^{2} (α) = \frac{1}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

sec^{2} (α) + csc^{2} (α) = \frac{1}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

Manipuliere die linke Seite

sec^{2} (α) + csc^{2} (α)

Drücke mit sin, cos aus

csc^{2} (α) + sec^{2} (α)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (\frac{1}{sin ( α )})^{2} + sec^{2} (α)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (\frac{1}{sin ( α )})^{2} + (\frac{1}{cos ( α )})^{2}

Vereinfache

(\frac{1}{sin ( α )})^{2} + (\frac{1}{cos ( α )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

(\frac{1}{sin ( α )})^{2} + (\frac{1}{cos ( α )})^{2}

(\frac{1}{sin ( α )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( α )}

(\frac{1}{sin ( α )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( α )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( α )}

(\frac{1}{cos ( α )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( α )}

(\frac{1}{cos ( α )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( α )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( α )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( α )} + \frac{1}{cos ^{2} ( α )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

sin^{2} (α), cos^{2} (α) : sin^{2} (α) cos^{2} (α)

sin^{2} (α), cos^{2} (α)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

sin^{2} (α)

oder

cos^{2} (α)

auftauchen.

= sin^{2} (α) cos^{2} (α)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

sin^{2} (α) cos^{2} (α)

Für

\frac{1}{sin ^{2} ( α )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos^{2} (α)

\frac{1}{sin ^{2} ( α )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )} = \frac{cos ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

Für

\frac{1}{cos ^{2} ( α )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin^{2} (α)

\frac{1}{cos ^{2} ( α )} = \frac{1 \cdot sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α ) sin ^{2} ( α )} = \frac{sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

= \frac{cos ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )} + \frac{sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

= \frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

= \frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α ) sin ^{2} ( α )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α ) sin ^{2} ( α )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( α ) sin ^{2} ( α )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( α ) sin ^{2} ( α )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen sin^2(A)+cos^2(A)=1

p ro v e sin^{2} (A) + cos^{2} (A) = 1

beweisen csc(2x)+cot(2x)=cot(x)

p ro v e csc (2 x) + cot (2 x) = cot (x)

beweisen cos^2(t)=(1+cos(2t))/2

p ro v e cos^{2} (t) = \frac{1 + cos ( 2 t )}{2}

beweisen cos(x)csc(x)tan(x)=1

p ro v e cos (x) csc (x) tan (x) = 1

beweisen (csc^2(θ))/(1+tan^2(θ))=cot^2(θ)

p ro v e \frac{csc ^{2} ( θ )}{1 + tan ^{2} ( θ )} = cot^{2} (θ)