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Beliebt Trigonometrie >

beweisen cot^2(θ)(1+tan^2(θ))=csc^2(θ)

Lösung

beweisen

cot^{2} (θ) (1 + tan^{2} (θ)) = csc^{2} (θ)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

cot^{2} (θ) (1 + tan^{2} (θ)) = csc^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

cot^{2} (θ) (1 + tan^{2} (θ))

Drücke mit sin, cos aus

(1 + tan^{2} (θ)) cot^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}) cot^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (1 + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}) (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}

Vereinfache

(1 + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}) (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

(1 + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}) (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2} (\frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + 1)

(\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} (\frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + 1)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) ( 1 + \frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )} )}{sin ^{2} ( θ )}

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

1 + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( θ ) + s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )} cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Multipliziere

cos^{2} (θ) \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} : cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

cos^{2} (θ) \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) ) cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( θ )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{csc ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{1}{c s c ^{2} ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ^{2} ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc^{2} (θ)

csc^{2} (θ)

csc^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen tan^2(u)-sin^2(u)=tan^2(u)sin^2(u)

p ro v e tan^{2} (u) - sin^{2} (u) = tan^{2} (u) sin^{2} (u)

beweisen 1-tan^4(A)=2sec^2(A)-sec^4(A)

p ro v e 1 - tan^{4} (A) = 2 sec^{2} (A) - sec^{4} (A)

beweisen cos^4(θ)-sin^4(θ)=2cos^2(θ)-1

p ro v e cos^{4} (θ) - sin^{4} (θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

beweisen sin(x)tan(x)+cos(x)= 1/(cos(x))

p ro v e sin (x) tan (x) + cos (x) = \frac{1}{cos ( x )}

beweisen (1-cos(x))/(sin(x))=tan(x/2)

p ro v e \frac{1 - cos ( x )}{sin ( x )} = tan (\frac{x}{2})