zs

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

受欢迎的三角函数 >

证明 csc^2(x/2)= 2/(1-cos(x))

解答

证明

csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( x )}

解答

真

求解步骤

csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( x )}

令

: u = \frac{x}{2}

csc^{2} (u) = \frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

证明

csc^{2} (u) = \frac{2}{1 - cos ( 2 u )} :

真

csc^{2} (u) = \frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

调整右侧

\frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

使用三角恒等式改写

\frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

使用倍角公式:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}

化简

\frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )} : \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

\frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}

乘开

1 - (1 - 2 sin^{2} (u)) : 2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

打开括号

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

使用加减运算法则

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2}{2 sin ^{2} ( u )}

数字相除:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

使用三角恒等式改写

使用基本三角恒等式:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( u )} ) ^{2}}

化简

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( u )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( u )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( u )}

(\frac{1}{csc ( u )})^{2}

使用指数法则:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( u )}

使用法则

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( u )}

= \frac{1}{\frac{1}{c s c ^{2} ( u )}}

使用分式法则:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ^{2} ( u )}{1}

使用法则

\frac{a}{1} = a

= csc^{2} (u)

csc^{2} (u)

csc^{2} (u)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

因此

csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( x )}

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 (tan^2(θ))/(sin^2(θ))-1=tan^2(θ)

p ro v e \frac{tan ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} - 1 = tan^{2} (θ)

证明 csc(θ)cos^2(θ)+sin(θ)=csc(θ)

p ro v e csc (θ) cos^{2} (θ) + sin (θ) = csc (θ)

证明 sec(θ+pi/2)=csc(θ)

p ro v e sec (θ + \frac{π}{2}) = csc (θ)

证明 (1+csc(θ))/(sec(θ))-cot(θ)=cos(θ)

p ro v e \frac{1 + csc ( θ )}{sec ( θ )} - cot (θ) = cos (θ)

证明 sin(2θ)=(2cot(θ))/(1+cot^2(θ))

p ro v e sin (2 θ) = \frac{2 cot ( θ )}{1 + cot ^{2} ( θ )}