English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

prove sin^2(θ/2)=(csc(θ)-cot(θ))/(2csc(θ))

פתרון

prove

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{csc ( θ ) - cot ( θ )}{2 csc ( θ )}

פתרון

נכון

צעדי פתרון

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{csc ( θ ) - cot ( θ )}{2 csc ( θ )}

u = \frac{θ}{2} :

נניח ש

sin^{2} (u) = \frac{csc ( 2 u ) - cot ( 2 u )}{2 csc ( 2 u )}

sin^{2} (u) = \frac{csc ( 2 u ) - cot ( 2 u )}{2 csc ( 2 u )}

הוכח ש:

נכון

sin^{2} (u) = \frac{csc ( 2 u ) - cot ( 2 u )}{2 csc ( 2 u )}

עבוד על אגף ימין

\frac{csc ( 2 u ) - cot ( 2 u )}{2 csc ( 2 u )}

sin, cos :

בטא באמצאות

\frac{- cot ( 2 u ) + csc ( 2 u )}{2 csc ( 2 u )}

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{- \frac{c o s ( 2 u )}{s i n ( 2 u )} + csc ( 2 u )}{2 csc ( 2 u )}

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{- \frac{c o s ( 2 u )}{s i n ( 2 u )} + \frac{1}{s i n ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{s i n ( 2 u )}}

\frac{- \frac{c o s ( 2 u )}{s i n ( 2 u )} + \frac{1}{s i n ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{s i n ( 2 u )}}

פשט את:

\frac{- cos ( 2 u ) + 1}{2}

\frac{- \frac{c o s ( 2 u )}{s i n ( 2 u )} + \frac{1}{s i n ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{s i n ( 2 u )}}

- \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} + \frac{1}{sin ( 2 u )}

אחד את השברים:

\frac{- cos ( 2 u ) + 1}{sin ( 2 u )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

הפעל את החוק

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{sin ( 2 u )}

= \frac{\frac{- c o s ( 2 u ) + 1}{s i n ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{s i n ( 2 u )}}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{sin ( 2 u ) \cdot 2 \cdot \frac{1}{s i n ( 2 u )}}

sin (2 u) \cdot 2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 u )}

הכפל ב:

2

sin (2 u) \cdot 2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 u )}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{1 \cdot sin ( 2 u ) \cdot 2}{sin ( 2 u )}

sin (2 u) :

בטל את הגורמים המשותפים

= 1 \cdot 2

1 \cdot 2 = 2 :

הכפל את המספרים

= 2

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{2}

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{2}

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{2}

Rewrite using trig identities

\frac{1 - cos ( 2 u )}{2}

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

:הפעל זהות של זווית כפולה

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2}

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2}

פשט את:

sin^{2} (u)

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2}

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

הרחב את:

2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

פתח סוגריים

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

הפעל חוקי מינוס-פלוס

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2 sin ^{2} ( u )}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= sin^{2} (u)

= sin^{2} (u)

= sin^{2} (u)

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{csc ( θ ) - cot ( θ )}{2 csc ( θ )}

לכן

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

דוגמאות פופולריות

prove cos(2x)=(cot^2(x)-1)/(cot^2(x)+1)

p ro v e cos (2 x) = \frac{cot ^{2} ( x ) - 1}{cot ^{2} ( x ) + 1}

prove sin^2(x)-2cos^2(x)=3sin^2(x)-2

p ro v e sin^{2} (x) - 2 cos^{2} (x) = 3 sin^{2} (x) - 2

prove tan(a)=tan(a)csc^2(a)+cot(-a)

p ro v e tan (a) = tan (a) csc^{2} (a) + cot (- a)

prove 7csc^2(x)-5cot^2(x)=2csc^2(x)+5

p ro v e 7 csc^{2} (x) - 5 cot^{2} (x) = 2 csc^{2} (x) + 5

prove 1/(csc(x)+cot(x))=csc(x)-cot(x)

p ro v e \frac{1}{csc ( x ) + cot ( x )} = csc (x) - cot (x)