English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

prove sec^2(y)-cot^2(pi/2-y)=1

פתרון

prove

sec^{2} (y) - cot^{2} (\frac{π}{2} - y) = 1

פתרון

נכון

צעדי פתרון

sec^{2} (y) - cot^{2} (\frac{π}{2} - y) = 1

עבוד על אגף שמאל

sec^{2} (y) - cot^{2} (\frac{π}{2} - y)

Rewrite using trig identities

cot (\frac{π}{2} - y)

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{cos ( \frac{π}{2} - y )}{sin ( \frac{π}{2} - y )}

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

:הפעל זהות של הפרש זוויות

= \frac{cos ( \frac{π}{2} - y )}{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( y ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( y )}

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

:הפעל זהות של הפרש זוויות

= \frac{cos ( \frac{π}{2} ) cos ( y ) + sin ( \frac{π}{2} ) sin ( y )}{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( y ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( y )}

\frac{cos ( \frac{π}{2} ) cos ( y ) + sin ( \frac{π}{2} ) sin ( y )}{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( y ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( y )}

פשט את:

\frac{sin ( y )}{cos ( y )}

\frac{cos ( \frac{π}{2} ) cos ( y ) + sin ( \frac{π}{2} ) sin ( y )}{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( y ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( y )}

cos (\frac{π}{2}) cos (y) + sin (\frac{π}{2}) sin (y) = sin (y)

cos (\frac{π}{2}) cos (y) + sin (\frac{π}{2}) sin (y)

cos (\frac{π}{2}) cos (y) = 0

cos (\frac{π}{2}) cos (y)

cos (\frac{π}{2})

פשט את:

0

cos (\frac{π}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot cos (y)

0 \cdot a = 0

הפעל את החוק

= 0

sin (\frac{π}{2}) sin (y) = sin (y)

sin (\frac{π}{2}) sin (y)

sin (\frac{π}{2})

פשט את:

1

sin (\frac{π}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 1

= 1 \cdot sin (y)

1 \cdot sin (y) = sin (y) :

הכפל

= sin (y)

= 0 + sin (y)

0 + sin (y) = sin (y)

= sin (y)

= \frac{sin ( y )}{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( y ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( y )}

sin (\frac{π}{2}) cos (y) - cos (\frac{π}{2}) sin (y) = cos (y)

sin (\frac{π}{2}) cos (y) - cos (\frac{π}{2}) sin (y)

sin (\frac{π}{2}) cos (y) = cos (y)

sin (\frac{π}{2}) cos (y)

sin (\frac{π}{2})

פשט את:

1

sin (\frac{π}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 1

= 1 \cdot cos (y)

1 \cdot cos (y) = cos (y) :

הכפל

= cos (y)

cos (\frac{π}{2}) sin (y) = 0

cos (\frac{π}{2}) sin (y)

cos (\frac{π}{2})

פשט את:

0

cos (\frac{π}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot sin (y)

0 \cdot a = 0

הפעל את החוק

= 0

= cos (y) - 0

cos (y) - 0 = cos (y)

= cos (y)

= \frac{sin ( y )}{cos ( y )}

= \frac{sin ( y )}{cos ( y )}

= sec^{2} (y) - (\frac{sin ( y )}{cos ( y )})^{2}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= sec^{2} (y) - \frac{sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

sin, cos :

בטא באמצאות

- \frac{sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )} + sec^{2} (y)

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= - \frac{sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )} + (\frac{1}{cos ( y )})^{2}

- \frac{sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )} + (\frac{1}{cos ( y )})^{2}

פשט את:

\frac{- sin ^{2} ( y ) + 1}{cos ^{2} ( y )}

- \frac{sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )} + (\frac{1}{cos ( y )})^{2}

(\frac{1}{cos ( y )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( y )}

(\frac{1}{cos ( y )})^{2}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( y )}

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( y )}

= - \frac{sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )} + \frac{1}{cos ^{2} ( y )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

הפעל את החוק

= \frac{- sin ^{2} ( y ) + 1}{cos ^{2} ( y )}

= \frac{- sin ^{2} ( y ) + 1}{cos ^{2} ( y )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

Rewrite using trig identities

\frac{1 - sin ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

:הפעל זהות פיטגורית

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( y )}{cos ^{2} ( y )}

\frac{a}{a} = 1

הפעל את החוק

= 1

= 1

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

דוגמאות פופולריות

prove sin(pi/3+x)-sin(pi/3-x)=sin(x)

p ro v e sin (\frac{π}{3} + x) - sin (\frac{π}{3} - x) = sin (x)

prove tan(x)(csc(x)-sin(x))=cos(x)

p ro v e tan (x) (csc (x) - sin (x)) = cos (x)

prove tan(x)(sin(x)+cot(x)cos(x))=sec(x)

p ro v e tan (x) (sin (x) + cot (x) cos (x)) = sec (x)

prove (csc(x)+sec(x))/(tan(x)+1)=csc(x)

p ro v e \frac{csc ( x ) + sec ( x )}{tan ( x ) + 1} = csc (x)

prove cos(pi/3)= 1/2

p ro v e cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}