he

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

prove cos^2(θ/2)=(sec(θ)+1)/(2sec(θ))

פתרון

prove

cos^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{sec ( θ ) + 1}{2 sec ( θ )}

פתרון

נכון

צעדי פתרון

cos^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{sec ( θ ) + 1}{2 sec ( θ )}

u = \frac{θ}{2} :

נניח ש

cos^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) + 1}{2 sec ( 2 u )}

cos^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) + 1}{2 sec ( 2 u )}

הוכח ש:

נכון

cos^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) + 1}{2 sec ( 2 u )}

עבוד על אגף ימין

\frac{sec ( 2 u ) + 1}{2 sec ( 2 u )}

sin, cos :

בטא באמצאות

\frac{1 + sec ( 2 u )}{2 sec ( 2 u )}

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

\frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

פשט את:

\frac{cos ( 2 u ) + 1}{2}

\frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 u )}

הכפל ב:

\frac{2}{cos ( 2 u )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 u )}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{1 \cdot 2}{cos ( 2 u )}

1 \cdot 2 = 2 :

הכפל את המספרים

= \frac{2}{cos ( 2 u )}

= \frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{2}{c o s ( 2 u )}}

1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

אחד את:

\frac{cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

1 = \frac{1 cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{1 \cdot cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )} + \frac{1}{cos ( 2 u )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{1 \cdot cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

1 \cdot cos (2 u) = cos (2 u) :

הכפל

= \frac{cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

= \frac{\frac{c o s ( 2 u ) + 1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{2}{c o s ( 2 u )}}

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

:חלק את השברים

= \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) cos ( 2 u )}{cos ( 2 u ) \cdot 2}

cos (2 u) :

בטל את הגורמים המשותפים

= \frac{cos ( 2 u ) + 1}{2}

= \frac{1 + cos ( 2 u )}{2}

= \frac{1 + cos ( 2 u )}{2}

Rewrite using trig identities

\frac{1 + cos ( 2 u )}{2}

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

:הפעל זהות של זווית כפולה

= \frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{2}

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{2}

פשט את:

cos^{2} (u)

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{2}

1 + 2 cos^{2} (u) - 1 = 2 cos^{2} (u)

1 + 2 cos^{2} (u) - 1

קבץ ביטויים דומים יחד

= 2 cos^{2} (u) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (u)

= \frac{2 cos ^{2} ( u )}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= cos^{2} (u)

= cos^{2} (u)

= cos^{2} (u)

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

cos^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{sec ( θ ) + 1}{2 sec ( θ )}

לכן

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

דוגמאות פופולריות

prove cos^2(x)=(cos(x))^2

p ro v e cos^{2} (x) = (cos (x))^{2}

prove 2cos^2(θ)tan(θ)=sin(2θ)

p ro v e 2 cos^{2} (θ) tan (θ) = sin (2 θ)

prove sin^5(x)=(1-cos^2(x))^2sin(x)

p ro v e sin^{5} (x) = (1 - cos^{2} (x))^{2} sin (x)

prove cos((3pi)/2-x)=-sin(x)

p ro v e cos (\frac{3 π}{2} - x) = - sin (x)

prove cot(t)+(sin(t))/(1+cos(t))=csc(t)

p ro v e cot (t) + \frac{sin ( t )}{1 + cos ( t )} = csc (t)