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dimostrare cos^2(θ/2)=(sec(θ)+1)/(2sec(θ))

Soluzione

dimostrare

cos^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{sec ( θ ) + 1}{2 sec ( θ )}

Vero

Fasi della soluzione

cos^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{sec ( θ ) + 1}{2 sec ( θ )}

Sia:

u = \frac{θ}{2}

cos^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) + 1}{2 sec ( 2 u )}

Dimostra

cos^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) + 1}{2 sec ( 2 u )} :

Vero

cos^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) + 1}{2 sec ( 2 u )}

Manipolando il lato destro

\frac{sec ( 2 u ) + 1}{2 sec ( 2 u )}

Esprimere con sen e cos

\frac{1 + sec ( 2 u )}{2 sec ( 2 u )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

Semplifica

\frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}} : \frac{cos ( 2 u ) + 1}{2}

\frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

Moltiplicare

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 u )} : \frac{2}{cos ( 2 u )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 u )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{cos ( 2 u )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{cos ( 2 u )}

= \frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{2}{c o s ( 2 u )}}

Unisci

1 + \frac{1}{cos ( 2 u )} : \frac{cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )}

= \frac{1 \cdot cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )} + \frac{1}{cos ( 2 u )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

Moltiplicare:

1 \cdot cos (2 u) = cos (2 u)

= \frac{cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

= \frac{\frac{c o s ( 2 u ) + 1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{2}{c o s ( 2 u )}}

Dividi le frazioni:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) cos ( 2 u )}{cos ( 2 u ) \cdot 2}

Cancella il fattore comune:

cos (2 u)

= \frac{cos ( 2 u ) + 1}{2}

= \frac{1 + cos ( 2 u )}{2}

= \frac{1 + cos ( 2 u )}{2}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{1 + cos ( 2 u )}{2}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{2}

Semplifica

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{2} : cos^{2} (u)

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{2}

1 + 2 cos^{2} (u) - 1 = 2 cos^{2} (u)

1 + 2 cos^{2} (u) - 1

Raggruppa termini simili

= 2 cos^{2} (u) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (u)

= \frac{2 cos ^{2} ( u )}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= cos^{2} (u)

= cos^{2} (u)

= cos^{2} (u)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Quindi

cos^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{sec ( θ ) + 1}{2 sec ( θ )}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e cos^{2} (x) = (cos (x))^{2}

p ro v e 2 cos^{2} (θ) tan (θ) = sin (2 θ)

p ro v e sin^{5} (x) = (1 - cos^{2} (x))^{2} sin (x)

p ro v e cos (\frac{3 π}{2} - x) = - sin (x)

p ro v e cot (t) + \frac{sin ( t )}{1 + cos ( t )} = csc (t)