ja

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

人気のある三角関数 >

証明する (1+sin(θ))/(1-sin(θ))-(1-sin(θ))/(1+sin(θ))=4tan(θ)sec(θ)

解

証明する

\frac{1 + sin ( θ )}{1 - sin ( θ )} - \frac{1 - sin ( θ )}{1 + sin ( θ )} = 4 tan (θ) sec (θ)

解

真

解答ステップ

\frac{1 + sin ( θ )}{1 - sin ( θ )} - \frac{1 - sin ( θ )}{1 + sin ( θ )} = 4 tan (θ) sec (θ)

左側を操作する

\frac{1 + sin ( θ )}{1 - sin ( θ )} - \frac{1 - sin ( θ )}{1 + sin ( θ )}

簡素化

\frac{1 + sin ( θ )}{1 - sin ( θ )} - \frac{1 - sin ( θ )}{1 + sin ( θ )} : \frac{4 sin ( θ )}{( - sin ( θ ) + 1 ) ( sin ( θ ) + 1 )}

\frac{1 + sin ( θ )}{1 - sin ( θ )} - \frac{1 - sin ( θ )}{1 + sin ( θ )}

以下の最小公倍数:

1 - sin (θ), 1 + sin (θ) : (- sin (θ) + 1) (sin (θ) + 1)

1 - sin (θ), 1 + sin (θ)

最小公倍数 (LCM)

1 - sin (θ)

または以下のいずれかに現れる因数で構成された式を計算する:

1 + sin (θ)

= (- sin (θ) + 1) (sin (θ) + 1)

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

(- sin (θ) + 1) (sin (θ) + 1)

\frac{1 + sin ( θ )}{1 - sin ( θ )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

sin (θ) + 1

\frac{1 + sin ( θ )}{1 - sin ( θ )} = \frac{( 1 + sin ( θ ) ) ( sin ( θ ) + 1 )}{( 1 - sin ( θ ) ) ( sin ( θ ) + 1 )} = \frac{( 1 + sin ( θ ) ) ^{2}}{( - sin ( θ ) + 1 ) ( sin ( θ ) + 1 )}

\frac{1 - sin ( θ )}{1 + sin ( θ )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

- sin (θ) + 1

\frac{1 - sin ( θ )}{1 + sin ( θ )} = \frac{( 1 - sin ( θ ) ) ( - sin ( θ ) + 1 )}{( 1 + sin ( θ ) ) ( - sin ( θ ) + 1 )} = \frac{( 1 - sin ( θ ) ) ^{2}}{( - sin ( θ ) + 1 ) ( sin ( θ ) + 1 )}

= \frac{( 1 + sin ( θ ) ) ^{2}}{( - sin ( θ ) + 1 ) ( sin ( θ ) + 1 )} - \frac{( 1 - sin ( θ ) ) ^{2}}{( - sin ( θ ) + 1 ) ( sin ( θ ) + 1 )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( 1 + sin ( θ ) ) ^{2} - ( 1 - sin ( θ ) ) ^{2}}{( - sin ( θ ) + 1 ) ( sin ( θ ) + 1 )}

拡張

(1 + sin (θ))^{2} - (1 - sin (θ))^{2} : 4 sin (θ)

(1 + sin (θ))^{2} - (1 - sin (θ))^{2}

(1 + sin (θ))^{2} : 1 + 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

完全平方式を適用する:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (θ)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

簡素化

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ) : 1 + 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

数を乗じる:

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

= 1 + 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

= 1 + 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - (1 - sin (θ))^{2}

(1 - sin (θ))^{2} : 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

完全平方式を適用する:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (θ)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

簡素化

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ) : 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

数を乗じる:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

= 1 + 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - (1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ))

- (1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)) : - 1 + 2 sin (θ) - sin^{2} (θ)

- (1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ))

括弧を分配する

= - (1) - (- 2 sin (θ)) - (sin^{2} (θ))

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin (θ) - sin^{2} (θ)

= 1 + 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 1 + 2 sin (θ) - sin^{2} (θ)

簡素化

1 + 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 1 + 2 sin (θ) - sin^{2} (θ) : 4 sin (θ)

1 + 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 1 + 2 sin (θ) - sin^{2} (θ)

条件のようなグループ

= 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) + 2 sin (θ) - sin^{2} (θ) + 1 - 1

類似した元を足す:

sin^{2} (θ) - sin^{2} (θ) = 0

= 2 sin (θ) + 2 sin (θ) + 1 - 1

類似した元を足す:

2 sin (θ) + 2 sin (θ) = 4 sin (θ)

= 4 sin (θ) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 4 sin (θ)

= 4 sin (θ)

= \frac{4 sin ( θ )}{( - sin ( θ ) + 1 ) ( sin ( θ ) + 1 )}

= \frac{4 sin ( θ )}{( 1 + sin ( θ ) ) ( 1 - sin ( θ ) )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{4 sin ( θ )}{( 1 + sin ( θ ) ) ( 1 - sin ( θ ) )}

拡張

(1 + sin (θ)) (1 - sin (θ)) : 1 - sin^{2} (θ)

(1 + sin (θ)) (1 - sin (θ))

2乗の差の公式を適用する:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (θ)

= 1^{2} - sin^{2} (θ)

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (θ)

= \frac{4 sin ( θ )}{1 - sin ^{2} ( θ )}

ピタゴラスの公式を使用する:

1 = cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

1 - sin^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{4 sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{4 sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

右側を操作する

4 tan (θ) sec (θ)

サイン, コサインで表わす

4 sec (θ) tan (θ)

基本的な三角関数の公式を使用する:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= 4 \cdot \frac{1}{cos ( θ )} tan (θ)

基本的な三角関数の公式を使用する:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 4 \cdot \frac{1}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

簡素化

4 \cdot \frac{1}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{4 sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

4 \cdot \frac{1}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{1 \cdot sin ( θ ) \cdot 4}{cos ( θ ) cos ( θ )}

数を乗じる:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4 sin ( θ )}{cos ( θ ) cos ( θ )}

cos (θ) cos (θ) = cos^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ)

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= cos^{1 + 1} (θ)

数を足す:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (θ)

= \frac{4 sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{4 sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{4 sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する cos(7x)+cos(3x)=2cos(5x)cos(2x)

p ro v e cos (7 x) + cos (3 x) = 2 cos (5 x) cos (2 x)

証明する cot(-α)cos(-α)+sin(-α)=-csc(α)

p ro v e cot (- α) cos (- α) + sin (- α) = - csc (α)

証明する sin(θ)cos(θ)tan(θ)=1-cos^2(θ)

p ro v e sin (θ) cos (θ) tan (θ) = 1 - cos^{2} (θ)

証明する cot^2(-θ)+1=csc^2(θ)

p ro v e cot^{2} (- θ) + 1 = csc^{2} (θ)

証明する sech^2(x)=1-tanh^2(x)

p ro v e sech^{2} (x) = 1 - tanh^{2} (x)