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beweisen cos(θ)sec(θ)-cos^2(θ)=sin^2(θ)

Lösung

beweisen

cos (θ) sec (θ) - cos^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (θ) sec (θ) - cos^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

cos (θ) sec (θ) - cos^{2} (θ)

Drücke mit sin, cos aus

- cos^{2} (θ) + cos (θ) sec (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - cos^{2} (θ) + cos (θ) \frac{1}{cos ( θ )}

Vereinfache

- cos^{2} (θ) + cos (θ) \frac{1}{cos ( θ )} : - cos^{2} (θ) + 1

- cos^{2} (θ) + cos (θ) \frac{1}{cos ( θ )}

cos (θ) \frac{1}{cos ( θ )} = 1

cos (θ) \frac{1}{cos ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( θ )}{cos ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ)

= 1

= - cos^{2} (θ) + 1

= - cos^{2} (θ) + 1

= 1 - cos^{2} (θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - cos^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= sin^{2} (θ)

= sin^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (12 x) = 2 sin (6 x) cos (6 x)

p ro v e \frac{1}{cos ( θ )} - cos (θ) = sin (θ) tan (θ)

p ro v e 1 + tan^{2} (3 0^{\circ}) = sec^{2} (3 0^{\circ})

p ro v e \frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} - tan (θ) = sec (θ)

p ro v e sin^{2} (θ) sec (θ) csc (θ) = tan (θ)