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beweisen (1+csc(β))/(cot(β)+cos(β))=sec(β)

Lösung

beweisen

\frac{1 + csc ( β )}{cot ( β ) + cos ( β )} = sec (β)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 + csc ( β )}{cot ( β ) + cos ( β )} = sec (β)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 + csc ( β )}{cot ( β ) + cos ( β )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + csc ( β )}{cos ( β ) + cot ( β )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{s i n ( β )}}{cos ( β ) + cot ( β )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{s i n ( β )}}{cos ( β ) + \frac{c o s ( β )}{s i n ( β )}}

Vereinfache

\frac{1 + \frac{1}{s i n ( β )}}{cos ( β ) + \frac{c o s ( β )}{s i n ( β )}} : \frac{1}{cos ( β )}

\frac{1 + \frac{1}{s i n ( β )}}{cos ( β ) + \frac{c o s ( β )}{s i n ( β )}}

Füge

cos (β) + \frac{cos ( β )}{sin ( β )}

zusammen:

\frac{cos ( β ) sin ( β ) + cos ( β )}{sin ( β )}

cos (β) + \frac{cos ( β )}{sin ( β )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (β) = \frac{cos ( β ) sin ( β )}{sin ( β )}

= \frac{cos ( β ) sin ( β )}{sin ( β )} + \frac{cos ( β )}{sin ( β )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( β ) sin ( β ) + cos ( β )}{sin ( β )}

= \frac{1 + \frac{1}{s i n ( β )}}{\frac{c o s ( β ) s i n ( β ) + c o s ( β )}{s i n ( β )}}

Füge

1 + \frac{1}{sin ( β )}

zusammen:

\frac{sin ( β ) + 1}{sin ( β )}

1 + \frac{1}{sin ( β )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( β )}{sin ( β )}

= \frac{1 \cdot sin ( β )}{sin ( β )} + \frac{1}{sin ( β )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( β ) + 1}{sin ( β )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (β) = sin (β)

= \frac{sin ( β ) + 1}{sin ( β )}

= \frac{\frac{s i n ( β ) + 1}{s i n ( β )}}{\frac{c o s ( β ) s i n ( β ) + c o s ( β )}{s i n ( β )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( sin ( β ) + 1 ) sin ( β )}{sin ( β ) ( cos ( β ) sin ( β ) + cos ( β ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (β)

= \frac{sin ( β ) + 1}{cos ( β ) sin ( β ) + cos ( β )}

Klammere gleiche Terme aus

cos (β)

= \frac{sin ( β ) + 1}{cos ( β ) ( sin ( β ) + 1 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (β) + 1

= \frac{1}{cos ( β )}

= \frac{1}{cos ( β )}

= \frac{1}{cos ( β )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( β )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( β )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( β )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (β)

sec (β)

sec (β)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e (1 - cos (b)) (1 + cos (b)) = \frac{1}{csc ^{2} ( b )}

p ro v e tan (- 7) = tan (π - 7)

p ro v e 25 sec^{2} (5 x) = 25 + 25 tan^{2} (5 x)

p ro v e \frac{sin ( x ) cos ( x )}{1 - cos ^{2} ( x )} = cot (x)

p ro v e tan (x - π) = tan (x)