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beweisen sin(β)+cos(β)cot(β)=csc(β)

Lösung

beweisen

sin (β) + cos (β) cot (β) = csc (β)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (β) + cos (β) cot (β) = csc (β)

Manipuliere die linke Seite

sin (β) + cos (β) cot (β)

Drücke mit sin, cos aus

sin (β) + cos (β) cot (β)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= sin (β) + cos (β) \frac{cos ( β )}{sin ( β )}

Vereinfache

sin (β) + cos (β) \frac{cos ( β )}{sin ( β )} : \frac{sin ^{2} ( β ) + cos ^{2} ( β )}{sin ( β )}

sin (β) + cos (β) \frac{cos ( β )}{sin ( β )}

cos (β) \frac{cos ( β )}{sin ( β )} = \frac{cos ^{2} ( β )}{sin ( β )}

cos (β) \frac{cos ( β )}{sin ( β )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( β ) cos ( β )}{sin ( β )}

cos (β) cos (β) = cos^{2} (β)

cos (β) cos (β)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (β) cos (β) = cos^{1 + 1} (β)

= cos^{1 + 1} (β)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (β)

= \frac{cos ^{2} ( β )}{sin ( β )}

= sin (β) + \frac{cos ^{2} ( β )}{sin ( β )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (β) = \frac{sin ( β ) sin ( β )}{sin ( β )}

= \frac{sin ( β ) sin ( β )}{sin ( β )} + \frac{cos ^{2} ( β )}{sin ( β )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( β ) sin ( β ) + cos ^{2} ( β )}{sin ( β )}

sin (β) sin (β) + cos^{2} (β) = sin^{2} (β) + cos^{2} (β)

sin (β) sin (β) + cos^{2} (β)

sin (β) sin (β) = sin^{2} (β)

sin (β) sin (β)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (β) sin (β) = sin^{1 + 1} (β)

= sin^{1 + 1} (β)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (β)

= sin^{2} (β) + cos^{2} (β)

= \frac{sin ^{2} ( β ) + cos ^{2} ( β )}{sin ( β )}

= \frac{sin ^{2} ( β ) + cos ^{2} ( β )}{sin ( β )}

= \frac{cos ^{2} ( β ) + sin ^{2} ( β )}{sin ( β )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( β ) + sin ^{2} ( β )}{sin ( β )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{sin ( β )}

= \frac{1}{sin ( β )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( β )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( β )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( β )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc (β)

csc (β)

csc (β)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (θ) cos (θ) = tan (θ)

p ro v e 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) - 1} = - sin (x)

p ro v e sin (3 x) = 3 cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x)

p ro v e cos (3 x) + cos (x) = 4 cos^{3} (x) - 2 cos (x)

p ro v e \frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)