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dimostrare sin(3x)=3sin(x)cos^2(x)-sin^3(x)

Soluzione

dimostrare

sin (3 x) = 3 sin (x) cos^{2} (x) - sin^{3} (x)

Vero

Fasi della soluzione

sin (3 x) = 3 sin (x) cos^{2} (x) - sin^{3} (x)

Manipolando il lato sinistro

sin (3 x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin (3 x)

Riscrivi come

= sin (2 x + x)

Usa la formula della somma degli angoli:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (2 x) cos (x) + cos (2 x) sin (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x)

= (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x)

Espandi

(cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x) : - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

(cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x)

2 cos (x) cos (x) sin (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

2 cos (x) cos (x) sin (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 cos^{1 + 1} (x) sin (x)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Espandi

sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) : cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x)

sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = sin (x), b = cos^{2} (x), c = sin^{2} (x)

= sin (x) cos^{2} (x) - sin (x) sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) sin (x) - sin^{2} (x) sin (x)

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{3} (x)

sin^{2} (x) sin (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= sin^{2 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= sin^{3} (x)

= cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x)

= cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Semplifica

cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x) : - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Raggruppa termini simili

= - sin^{3} (x) + cos^{2} (x) sin (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Aggiungi elementi simili:

cos^{2} (x) sin (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x) = 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e \frac{cos ( 3 x ) - cos ( 5 x )}{sin ( 3 x ) + sin ( 5 x )} = tan (x)

p ro v e cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 x)

p ro v e tan (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{sin ( θ )}

p ro v e \frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} = csc (2 x)

p ro v e cos (x + \frac{π}{2}) = sin (x)