English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

prove 1-tan^2(x/2)=(2cos(x))/(1+cos(x))

פתרון

prove

1 - tan^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2 cos ( x )}{1 + cos ( x )}

פתרון

נכון

צעדי פתרון

1 - tan^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2 cos ( x )}{1 + cos ( x )}

u = \frac{x}{2} :

נניח ש

1 - tan^{2} (u) = \frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

1 - tan^{2} (u) = \frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

הוכח ש:

נכון

1 - tan^{2} (u) = \frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

עבוד על אגף שמאל

1 - tan^{2} (u)

sin, cos :

בטא באמצאות

1 - tan^{2} (u)

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= 1 - (\frac{sin ( u )}{cos ( u )})^{2}

1 - (\frac{sin ( u )}{cos ( u )})^{2}

פשט את:

\frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

1 - (\frac{sin ( u )}{cos ( u )})^{2}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= 1 - \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

1 = \frac{1 cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )} - \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

1 \cdot cos^{2} (u) = cos^{2} (u) :

הכפל

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Rewrite using trig identities

\frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:הפעל זהות פיטגורית

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( u ) - ( 1 - cos ^{2} ( u ) )}{cos ^{2} ( u )}

cos^{2} (u) - (1 - cos^{2} (u))

הרחב את:

2 cos^{2} (u) - 1

cos^{2} (u) - (1 - cos^{2} (u))

- (1 - cos^{2} (u)) : - 1 + cos^{2} (u)

- (1 - cos^{2} (u))

פתח סוגריים

= - (1) - (- cos^{2} (u))

הפעל חוקי מינוס-פלוס

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (u)

= cos^{2} (u) - 1 + cos^{2} (u)

cos^{2} (u) - 1 + cos^{2} (u)

פשט את:

2 cos^{2} (u) - 1

cos^{2} (u) - 1 + cos^{2} (u)

קבץ ביטויים דומים יחד

= cos^{2} (u) + cos^{2} (u) - 1

cos^{2} (u) + cos^{2} (u) = 2 cos^{2} (u) :

חבר איברים דומים

= 2 cos^{2} (u) - 1

= 2 cos^{2} (u) - 1

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

עבוד על אגף ימין

\frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Rewrite using trig identities

\frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

:הפעל זהות של זווית כפולה

= \frac{2 ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}

\frac{2 ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}

פשט את:

\frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

\frac{2 ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}

1 + 2 cos^{2} (u) - 1 = 2 cos^{2} (u)

1 + 2 cos^{2} (u) - 1

קבץ ביטויים דומים יחד

= 2 cos^{2} (u) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (u)

= \frac{2 ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{2 cos ^{2} ( u )}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

1 - tan^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2 cos ( x )}{1 + cos ( x )}

לכן

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

דוגמאות פופולריות

prove (cos(3x))/(cos(x))=4cos^2(x)-3

p ro v e \frac{cos ( 3 x )}{cos ( x )} = 4 cos^{2} (x) - 3

prove sin(arcsin(x)+arccos(x))=1

p ro v e sin (arcsin (x) + arccos (x)) = 1

prove sin(16x)=2sin(8x)cos(8x)

p ro v e sin (16 x) = 2 sin (8 x) cos (8 x)

prove sin(pi/2-x)sec(x)=1

p ro v e sin (\frac{π}{2} - x) sec (x) = 1

prove (sin(θ))/(1-cos^2(θ))=csc(θ)

p ro v e \frac{sin ( θ )}{1 - cos ^{2} ( θ )} = csc (θ)