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dimostrare cos(4B)=1-8sin^2(B)+8sin^4(B)

Soluzione

dimostrare

cos (4 B) = 1 - 8 sin^{2} (B) + 8 sin^{4} (B)

Vero

Fasi della soluzione

cos (4 B) = 1 - 8 sin^{2} (B) + 8 sin^{4} (B)

Manipolando il lato sinistro

cos (4 B)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (4 B)

= cos (2 \cdot 2 B)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (2 B) - 1

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 2 (1 - 2 sin^{2} (B))^{2} - 1

Semplifica

2 (1 - 2 sin^{2} (B))^{2} - 1 : 8 sin^{4} (B) - 8 sin^{2} (B) + 1

2 (1 - 2 sin^{2} (B))^{2} - 1

(1 - 2 sin^{2} (B))^{2} : 1 - 4 sin^{2} (B) + 4 sin^{4} (B)

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = 2 sin^{2} (B)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 sin^{2} (B) + (2 sin^{2} (B))^{2}

Semplifica

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 sin^{2} (B) + (2 sin^{2} (B))^{2} : 1 - 4 sin^{2} (B) + 4 sin^{4} (B)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 sin^{2} (B) + (2 sin^{2} (B))^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot 2 sin^{2} (B) + (2 sin^{2} (B))^{2}

2 \cdot 1 \cdot 2 sin^{2} (B) = 4 sin^{2} (B)

2 \cdot 1 \cdot 2 sin^{2} (B)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 \cdot 2 = 4

= 4 sin^{2} (B)

(2 sin^{2} (B))^{2} = 4 sin^{4} (B)

(2 sin^{2} (B))^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (sin^{2} (B))^{2}

(sin^{2} (B))^{2} : sin^{4} (B)

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= sin^{2 \cdot 2} (B)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= sin^{4} (B)

= 2^{2} sin^{4} (B)

2^{2} = 4

= 4 sin^{4} (B)

= 1 - 4 sin^{2} (B) + 4 sin^{4} (B)

= 1 - 4 sin^{2} (B) + 4 sin^{4} (B)

= 2 (1 - 4 sin^{2} (B) + 4 sin^{4} (B)) - 1

Espandi

2 (1 - 4 sin^{2} (B) + 4 sin^{4} (B)) : 2 - 8 sin^{2} (B) + 8 sin^{4} (B)

2 (1 - 4 sin^{2} (B) + 4 sin^{4} (B))

Distribuire le parentesi

= 2 \cdot 1 + 2 (- 4 sin^{2} (B)) + 2 \cdot 4 sin^{4} (B)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

+ (- a) = - a

= 2 \cdot 1 - 2 \cdot 4 sin^{2} (B) + 2 \cdot 4 sin^{4} (B)

Semplifica

2 \cdot 1 - 2 \cdot 4 sin^{2} (B) + 2 \cdot 4 sin^{4} (B) : 2 - 8 sin^{2} (B) + 8 sin^{4} (B)

2 \cdot 1 - 2 \cdot 4 sin^{2} (B) + 2 \cdot 4 sin^{4} (B)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 \cdot 4 sin^{2} (B) + 2 \cdot 4 sin^{4} (B)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= 2 - 8 sin^{2} (B) + 8 sin^{4} (B)

= 2 - 8 sin^{2} (B) + 8 sin^{4} (B)

= 2 - 8 sin^{2} (B) + 8 sin^{4} (B) - 1

Semplifica

2 - 8 sin^{2} (B) + 8 sin^{4} (B) - 1 : 8 sin^{4} (B) - 8 sin^{2} (B) + 1

2 - 8 sin^{2} (B) + 8 sin^{4} (B) - 1

Raggruppa termini simili

= - 8 sin^{2} (B) + 8 sin^{4} (B) + 2 - 1

Aggiungi/Sottrai i numeri:

2 - 1 = 1

= 8 sin^{4} (B) - 8 sin^{2} (B) + 1

= 8 sin^{4} (B) - 8 sin^{2} (B) + 1

= 8 sin^{4} (B) - 8 sin^{2} (B) + 1

= 8 sin^{4} (B) - 8 sin^{2} (B) + 1

= 1 - 8 sin^{2} (B) + 8 sin^{4} (B)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e sin (\frac{π}{2} - u) = cos (u)

p ro v e arccos (x) = \frac{1}{cos ( x )}

p ro v e \frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{cos ( x )} = cot (x) csc (x)

p ro v e cos^{2} (x) (1 - sec^{2} (x)) = - sin^{2} (x)

p ro v e tan^{2} (θ) csc^{2} (θ) = sec^{2} (θ)