English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

prove sec(2x)=(sec^2(x)+sec^4(x))/(2+sec^2(x)-sec^4(x))

פתרון

prove

sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x ) + sec ^{4} ( x )}{2 + sec ^{2} ( x ) - sec ^{4} ( x )}

פתרון

נכון

צעדי פתרון

sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x ) + sec ^{4} ( x )}{2 + sec ^{2} ( x ) - sec ^{4} ( x )}

עבוד על אגף ימין

\frac{sec ^{2} ( x ) + sec ^{4} ( x )}{2 + sec ^{2} ( x ) - sec ^{4} ( x )}

sin, cos :

בטא באמצאות

\frac{sec ^{2} ( x ) + sec ^{4} ( x )}{2 + sec ^{2} ( x ) - sec ^{4} ( x )}

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}{2 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}{2 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}

פשט את:

\frac{1}{2 cos ^{2} ( x ) - 1}

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}{2 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4} = \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= \frac{1 ^{4}}{cos ^{4} ( x )}

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{4} = 1

= \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}{2 + \frac{1}{c o s ^{2} ( x )} - \frac{1}{c o s ^{4} ( x )}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4} = \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= \frac{1 ^{4}}{cos ^{4} ( x )}

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{4} = 1

= \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )} + \frac{1}{c o s ^{4} ( x )}}{2 + \frac{1}{c o s ^{2} ( x )} - \frac{1}{c o s ^{4} ( x )}}

2 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

אחד את:

\frac{2 cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{4} ( x )}

2 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

2 = \frac{2}{1}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{2}{1} + \frac{1}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

1, cos^{2} (x), cos^{4} (x)

הכפולה המשותפת המינימלית של:

cos^{4} (x)

1, cos^{2} (x), cos^{4} (x)

Lowest Common Multiplier (LCM)

Compute an expression comprised of factors that appear in at least one of the factored expressions

= cos^{4} (x)

כתוב מחדש את השברים כך שהמכנה יהיה משותף

cos^{4} (x)

הכפל כל מונה ומכנה בביטוי שיביא לכך שהמכנה יהיה משותף

cos^{4} (x)

הכפל את המכנה והמונה ב

: \frac{2}{1}

עבור

\frac{2}{1} = \frac{2 cos ^{4} ( x )}{1 \cdot cos ^{4} ( x )} = \frac{2 cos ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

cos^{2} (x)

הכפל את המכנה והמונה ב

: \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

עבור

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{2 cos ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )} - \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{2 cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )} + \frac{1}{c o s ^{4} ( x )}}{\frac{2 c o s ^{4} ( x ) + c o s ^{2} ( x ) - 1}{c o s ^{4} ( x )}}

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

אחד את:

\frac{cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{4} ( x )}

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

cos^{2} (x), cos^{4} (x)

הכפולה המשותפת המינימלית של:

cos^{4} (x)

cos^{2} (x), cos^{4} (x)

Lowest Common Multiplier (LCM)

Compute an expression comprised of factors that appear either in

cos^{2} (x)

cos^{4} (x)

= cos^{4} (x)

כתוב מחדש את השברים כך שהמכנה יהיה משותף

cos^{4} (x)

הכפל כל מונה ומכנה בביטוי שיביא לכך שהמכנה יהיה משותף

cos^{2} (x)

הכפל את המכנה והמונה ב

: \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

עבור

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )} + \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x ) + 1}{c o s ^{4} ( x )}}{\frac{2 c o s ^{4} ( x ) + c o s ^{2} ( x ) - 1}{c o s ^{4} ( x )}}

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

:חלק את השברים

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + 1 ) cos ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x ) ( 2 cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 1 )}

cos^{4} (x) :

בטל את הגורמים המשותפים

= \frac{cos ^{2} ( x ) + 1}{2 cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 1}

2 cos^{4} (x) + cos^{2} (x) - 1

פרק לגורמים את:

(2 cos^{2} (x) - 1) (cos^{2} (x) + 1)

2 cos^{4} (x) + cos^{2} (x) - 1

u = cos^{2} (x)

החלף

= 2 u^{2} + u - 1

2 u^{2} + u - 1

פרק לגורמים את:

(2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

חלק הביטוי לקבוצות

2 u^{2} + u - 1

הגדרה

Factors of

2 : 1, 2

2

Divisors (Factors)

Find the Prime factors of

2 : 2

2

הוא מספר ראשוני לכן פירוק לגורמים אינו אפשרי

2

= 2

Add 1

1

2

המחלקים של

1, 2

Negative factors of

2 : - 1, - 2

Multiply the factors by

- 1

to get the negative factors

- 1, - 2

For every two factors such that

u * v = - 2,

check if

u + v = 1

Check

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

לא נכוןCheck

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

נכון

u = 2, v = - 1

Group into

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

u

הוצא את הגורם

2 u^{2} - u

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:הפעל את חוק החזקות

u^{2} = uu

= 2 uu - u

u

הוצא את הגורם המשותף

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

2 u - 1

הוצא את הגורם המשותף

= (2 u - 1) (u + 1)

= (2 u - 1) (u + 1)

u = cos^{2} (x)

החלף בחזרה

= (cos^{2} (x) + 1) (2 cos^{2} (x) - 1)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + 1}{( 2 cos ^{2} ( x ) - 1 ) ( cos ^{2} ( x ) + 1 )}

cos^{2} (x) + 1 :

בטל את הגורמים המשותפים

= \frac{1}{2 cos ^{2} ( x ) - 1}

= \frac{1}{2 cos ^{2} ( x ) - 1}

= \frac{1}{- 1 + 2 cos ^{2} ( x )}

Rewrite using trig identities

\frac{1}{- 1 + 2 cos ^{2} ( x )}

2 cos^{2} (x) - 1 = cos (2 x)

:הפעל זהות של זווית כפולה

= \frac{1}{cos ( 2 x )}

= \frac{1}{cos ( 2 x )}

Rewrite using trig identities

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

פשט

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{sec ( 2 x )}{1}

\frac{a}{1} = a

הפעל את החוק

= sec (2 x)

sec (2 x)

sec (2 x)

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

דוגמאות פופולריות

prove 1/(csc(x))= 1/(sin(x))

p ro v e \frac{1}{csc ( x )} = \frac{1}{sin ( x )}

prove 1+tan^2(A)=sec^3(A)cos(A)

p ro v e 1 + tan^{2} (A) = sec^{3} (A) cos (A)

prove sec(0)-cos(0)=tan(0)sin(0)

p ro v e sec (0) - cos (0) = tan (0) sin (0)

prove 1-sin(θ)cos(θ)tan(θ)=cos^2(θ)

p ro v e 1 - sin (θ) cos (θ) tan (θ) = cos^{2} (θ)

prove tan^2(x)+sin(x)csc(x)=sec^2(x)

p ro v e tan^{2} (x) + sin (x) csc (x) = sec^{2} (x)