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verificar (cot^2(x))/(csc(x)+1)+1=csc(x)

Solución

verificar

\frac{cot ^{2} ( x )}{csc ( x ) + 1} + 1 = csc (x)

Verdadero

Pasos de solución

\frac{cot ^{2} ( x )}{csc ( x ) + 1} + 1 = csc (x)

Manipular el lado derecho

\frac{cot ^{2} ( x )}{csc ( x ) + 1} + 1

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{cot ^{2} ( x )}{csc ( x ) + 1} + 1

Utilizar la identidad pitagórica:

1 + cot^{2} (x) = csc^{2} (x)

cot^{2} (x) = csc^{2} (x) - 1

= \frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ( x ) + 1} + 1

Simplificar

\frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ( x ) + 1} + 1 : csc (x)

\frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ( x ) + 1} + 1

Cancelar

\frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ( x ) + 1} : csc (x) - 1

\frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ( x ) + 1}

Factorizar

csc^{2} (x) - 1 : (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

csc^{2} (x) - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= csc^{2} (x) - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

csc^{2} (x) - 1^{2} = (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

= (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

= \frac{( csc ( x ) + 1 ) ( csc ( x ) - 1 )}{csc ( x ) + 1}

Eliminar los terminos comunes:

csc (x) + 1

= csc (x) - 1

= csc (x) - 1 + 1

- 1 + 1 = 0

= csc (x)

= csc (x)

= csc (x)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero