English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popular Trigonometría >

verificar 1/(1-cos(x))-1/(1+cos(x))=2cot(x)csc(x)

Solución

verificar

\frac{1}{1 - cos ( x )} - \frac{1}{1 + cos ( x )} = 2 cot (x) csc (x)

Solución

Verdadero

Pasos de solución

\frac{1}{1 - cos ( x )} - \frac{1}{1 + cos ( x )} = 2 cot (x) csc (x)

Manipular el lado derecho

\frac{1}{1 - cos ( x )} - \frac{1}{1 + cos ( x )}

Simplificar

- \frac{1}{1 + cos ( x )} + \frac{1}{1 - cos ( x )} : \frac{2 cos ( x )}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )}

- \frac{1}{1 + cos ( x )} + \frac{1}{1 - cos ( x )}

Mínimo común múltiplo de

1 + cos (x), 1 - cos (x) : (cos (x) + 1) (- cos (x) + 1)

1 + cos (x), 1 - cos (x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

1 + cos (x)

1 - cos (x)

= (cos (x) + 1) (- cos (x) + 1)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{1}{1 + cos ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

- cos (x) + 1

\frac{1}{1 + cos ( x )} = \frac{1 \cdot ( - cos ( x ) + 1 )}{( 1 + cos ( x ) ) ( - cos ( x ) + 1 )} = \frac{- cos ( x ) + 1}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )}

Para

\frac{1}{1 - cos ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (x) + 1

\frac{1}{1 - cos ( x )} = \frac{1 \cdot ( cos ( x ) + 1 )}{( 1 - cos ( x ) ) ( cos ( x ) + 1 )} = \frac{cos ( x ) + 1}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )}

= - \frac{- cos ( x ) + 1}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )} + \frac{cos ( x ) + 1}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- ( - cos ( x ) + 1 ) + cos ( x ) + 1}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )}

Expandir

- (- cos (x) + 1) + cos (x) + 1 : 2 cos (x)

- (- cos (x) + 1) + cos (x) + 1

- (- cos (x) + 1) : cos (x) - 1

- (- cos (x) + 1)

Poner los parentesis

= - (- cos (x)) - (1)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= cos (x) - 1

= cos (x) - 1 + cos (x) + 1

Simplificar

cos (x) - 1 + cos (x) + 1 : 2 cos (x)

cos (x) - 1 + cos (x) + 1

Agrupar términos semejantes

= cos (x) + cos (x) - 1 + 1

Sumar elementos similares:

cos (x) + cos (x) = 2 cos (x)

= 2 cos (x) - 1 + 1

- 1 + 1 = 0

= 2 cos (x)

= 2 cos (x)

= \frac{2 cos ( x )}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )}

= \frac{2 cos ( x )}{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{2 cos ( x )}{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}

Expandir

(1 + cos (x)) (1 - cos (x)) : 1 - cos^{2} (x)

(1 + cos (x)) (1 - cos (x))

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = cos (x)

= 1^{2} - cos^{2} (x)

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - cos^{2} (x)

= \frac{2 cos ( x )}{1 - cos ^{2} ( x )}

Utilizar la identidad pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{2 cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{2 cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Manipular el lado izquierdo

2 cot (x) csc (x)

Expresar con seno, coseno

2 cot (x) csc (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= 2 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} csc (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= 2 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )}

Simplificar

2 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )} : \frac{2 cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

2 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{cos ( x ) \cdot 1 \cdot 2}{sin ( x ) sin ( x )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 cos ( x )}{sin ( x ) sin ( x )}

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Sumar:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= \frac{2 cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{2 cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{2 cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Ejemplos populares

verificar tan^2(t)= 1/(cos^2(t))-1

verificar (cot(θ)-tan(θ))/(cot(θ)+tan(θ))=cos(2θ)

verificar cos^2(2x)+4sin^2(x)cos^2(x)=1

verificar cos(x)(sec(x)-1)=1-cos(x)

verificar csc^2(θ)(1-cos^2(θ))=-cos(pi/2)