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Popolare Trigonometria >

dimostrare 1/(1-cos(x))-1/(1+cos(x))=2cot(x)csc(x)

Soluzione

dimostrare

\frac{1}{1 - cos ( x )} - \frac{1}{1 + cos ( x )} = 2 cot (x) csc (x)

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

\frac{1}{1 - cos ( x )} - \frac{1}{1 + cos ( x )} = 2 cot (x) csc (x)

Manipolando il lato sinistro

\frac{1}{1 - cos ( x )} - \frac{1}{1 + cos ( x )}

Semplifica

- \frac{1}{1 + cos ( x )} + \frac{1}{1 - cos ( x )} : \frac{2 cos ( x )}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )}

- \frac{1}{1 + cos ( x )} + \frac{1}{1 - cos ( x )}

Minimo Comune Multiplo di

1 + cos (x), 1 - cos (x) : (cos (x) + 1) (- cos (x) + 1)

1 + cos (x), 1 - cos (x)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

1 + cos (x)

1 - cos (x)

= (cos (x) + 1) (- cos (x) + 1)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

(cos (x) + 1) (- cos (x) + 1)

Per

\frac{1}{1 + cos ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

- cos (x) + 1

\frac{1}{1 + cos ( x )} = \frac{1 \cdot ( - cos ( x ) + 1 )}{( 1 + cos ( x ) ) ( - cos ( x ) + 1 )} = \frac{- cos ( x ) + 1}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )}

Per

\frac{1}{1 - cos ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (x) + 1

\frac{1}{1 - cos ( x )} = \frac{1 \cdot ( cos ( x ) + 1 )}{( 1 - cos ( x ) ) ( cos ( x ) + 1 )} = \frac{cos ( x ) + 1}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )}

= - \frac{- cos ( x ) + 1}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )} + \frac{cos ( x ) + 1}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- ( - cos ( x ) + 1 ) + cos ( x ) + 1}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )}

Espandi

- (- cos (x) + 1) + cos (x) + 1 : 2 cos (x)

- (- cos (x) + 1) + cos (x) + 1

- (- cos (x) + 1) : cos (x) - 1

- (- cos (x) + 1)

Distribuire le parentesi

= - (- cos (x)) - (1)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a, - (a) = - a

= cos (x) - 1

= cos (x) - 1 + cos (x) + 1

Semplifica

cos (x) - 1 + cos (x) + 1 : 2 cos (x)

cos (x) - 1 + cos (x) + 1

Raggruppa termini simili

= cos (x) + cos (x) - 1 + 1

Aggiungi elementi simili:

cos (x) + cos (x) = 2 cos (x)

= 2 cos (x) - 1 + 1

- 1 + 1 = 0

= 2 cos (x)

= 2 cos (x)

= \frac{2 cos ( x )}{( cos ( x ) + 1 ) ( - cos ( x ) + 1 )}

= \frac{2 cos ( x )}{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{2 cos ( x )}{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}

Espandi

(1 + cos (x)) (1 - cos (x)) : 1 - cos^{2} (x)

(1 + cos (x)) (1 - cos (x))

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = cos (x)

= 1^{2} - cos^{2} (x)

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - cos^{2} (x)

= \frac{2 cos ( x )}{1 - cos ^{2} ( x )}

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{2 cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{2 cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Manipolando il lato destro

2 cot (x) csc (x)

Esprimere con sen e cos

2 cot (x) csc (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= 2 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} csc (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= 2 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )}

Semplifica

2 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )} : \frac{2 cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

2 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{cos ( x ) \cdot 1 \cdot 2}{sin ( x ) sin ( x )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 cos ( x )}{sin ( x ) sin ( x )}

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= \frac{2 cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{2 cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{2 cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare tan^2(t)= 1/(cos^2(t))-1

p ro v e tan^{2} (t) = \frac{1}{cos ^{2} ( t )} - 1

dimostrare (cot(θ)-tan(θ))/(cot(θ)+tan(θ))=cos(2θ)

p ro v e \frac{cot ( θ ) - tan ( θ )}{cot ( θ ) + tan ( θ )} = cos (2 θ)

dimostrare cos^2(2x)+4sin^2(x)cos^2(x)=1

p ro v e cos^{2} (2 x) + 4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) = 1

dimostrare cos(x)(sec(x)-1)=1-cos(x)

p ro v e cos (x) (sec (x) - 1) = 1 - cos (x)

dimostrare csc^2(θ)(1-cos^2(θ))=-cos(pi/2)

p ro v e csc^{2} (θ) (1 - cos^{2} (θ)) = - cos (\frac{π}{2})