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beweisen sin(x)((1+cot^2(x)))=csc(x)

Lösung

beweisen

sin (x) ((1 + cot^{2} (x))) = csc (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (x) (1 + cot^{2} (x)) = csc (x)

Manipuliere die linke Seite

sin (x) (1 + cot^{2} (x))

Drücke mit sin, cos aus

(1 + cot^{2} (x)) sin (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}) sin (x)

Vereinfache

(1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}) sin (x) : \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

(1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= sin (x) (\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + 1)

Füge

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} sin (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) ) sin ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( x )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc (x)

csc (x)

csc (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{1}{tan ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

p ro v e sin (3 θ) + sin (θ) = 2 sin (2 θ) cos (θ)

p ro v e - cot (x) + sec (x) csc (x) = tan (x)

p ro v e cos (\frac{3 π}{2}) = cos (\frac{π}{2})

p ro v e csc (\frac{π}{2} - x) cos (x) = sec (x) cos (x)