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Popular Trigonometría >

verificar 1/(csc(x)+1)+1/(csc(x)-1)=2sec(x)tan(x)

Solución

verificar

\frac{1}{csc ( x ) + 1} + \frac{1}{csc ( x ) - 1} = 2 sec (x) tan (x)

Solución

Verdadero

Pasos de solución

\frac{1}{csc ( x ) + 1} + \frac{1}{csc ( x ) - 1} = 2 sec (x) tan (x)

Manipular el lado derecho

\frac{1}{csc ( x ) + 1} + \frac{1}{csc ( x ) - 1}

Expresar con seno, coseno

\frac{1}{- 1 + csc ( x )} + \frac{1}{1 + csc ( x )}

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

Simplificar

\frac{1}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}} : \frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

\frac{1}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

\frac{1}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} = \frac{sin ( x )}{- sin ( x ) + 1}

\frac{1}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

Simplificar

- 1 + \frac{1}{sin ( x )}

en una fracción:

\frac{- sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

- 1 + \frac{1}{sin ( x )}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{- sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{1}{\frac{- s i n ( x ) + 1}{s i n ( x )}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sin ( x )}{- sin ( x ) + 1}

\frac{1}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}} = \frac{sin ( x )}{sin ( x ) + 1}

\frac{1}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

Simplificar

1 + \frac{1}{sin ( x )}

en una fracción:

\frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

1 + \frac{1}{sin ( x )}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{1}{\frac{s i n ( x ) + 1}{s i n ( x )}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sin ( x )}{sin ( x ) + 1}

= \frac{sin ( x )}{- sin ( x ) + 1} + \frac{sin ( x )}{sin ( x ) + 1}

Mínimo común múltiplo de

- sin (x) + 1, sin (x) + 1 : (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

- sin (x) + 1, sin (x) + 1

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

- sin (x) + 1

sin (x) + 1

= (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{sin ( x )}{- sin ( x ) + 1} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (x) + 1

\frac{sin ( x )}{- sin ( x ) + 1} = \frac{sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}

Para

\frac{sin ( x )}{sin ( x ) + 1} :

multiplicar el denominador y el numerador por

- sin (x) + 1

\frac{sin ( x )}{sin ( x ) + 1} = \frac{sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )} + \frac{sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 ) + sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Expandir

sin (x) (sin (x) + 1) + sin (x) (- sin (x) + 1) : 2 sin (x)

sin (x) (sin (x) + 1) + sin (x) (- sin (x) + 1)

Expandir

sin (x) (sin (x) + 1) : sin^{2} (x) + sin (x)

sin (x) (sin (x) + 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = sin (x), b = sin (x), c = 1

= sin (x) sin (x) + sin (x) \cdot 1

= sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

Simplificar

sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x) : sin^{2} (x) + sin (x)

sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Sumar:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 \cdot sin (x)

Multiplicar:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

= sin^{2} (x) + sin (x)

= sin^{2} (x) + sin (x)

= sin^{2} (x) + sin (x) + sin (x) (- sin (x) + 1)

Expandir

sin (x) (- sin (x) + 1) : - sin^{2} (x) + sin (x)

sin (x) (- sin (x) + 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = sin (x), b = - sin (x), c = 1

= sin (x) (- sin (x)) + sin (x) \cdot 1

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

Simplificar

- sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x) : - sin^{2} (x) + sin (x)

- sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Sumar:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 \cdot sin (x)

Multiplicar:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

= - sin^{2} (x) + sin (x)

= - sin^{2} (x) + sin (x)

= sin^{2} (x) + sin (x) - sin^{2} (x) + sin (x)

Simplificar

sin^{2} (x) + sin (x) - sin^{2} (x) + sin (x) : 2 sin (x)

sin^{2} (x) + sin (x) - sin^{2} (x) + sin (x)

Sumar elementos similares:

sin^{2} (x) - sin^{2} (x) = 0

= sin (x) + sin (x)

Sumar elementos similares:

sin (x) + sin (x) = 2 sin (x)

= 2 sin (x)

= 2 sin (x)

= \frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{2 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{2 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Expandir

(1 + sin (x)) (1 - sin (x)) : 1 - sin^{2} (x)

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - sin^{2} (x)

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Utilizar la identidad pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Manipular el lado izquierdo

2 sec (x) tan (x)

Expresar con seno, coseno

2 sec (x) tan (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= 2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} tan (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Simplificar

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x ) cos ( x )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 sin ( x )}{cos ( x ) cos ( x )}

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Sumar:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Ejemplos populares

verificar 25cos^2(x)=25-25sin^2(x)

verificar sin(180-θ)=sin(θ)

verificar 2cot^2(x)sin^2(x)=1+2cos(x)

verificar cos(x)=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)

verificar 2sin(z)cos(z)=sin(2z)