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beweisen (csc(A))/(csc(A)-sin(A))=sec^2(A)

Lösung

beweisen

\frac{csc ( A )}{csc ( A ) - sin ( A )} = sec^{2} (A)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{csc ( A )}{csc ( A ) - sin ( A )} = sec^{2} (A)

Manipuliere die linke Seite

\frac{csc ( A )}{csc ( A ) - sin ( A )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{csc ( A )}{csc ( A ) - sin ( A )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{1}{s i n ( A )}}{\frac{1}{s i n ( A )} - sin ( A )}

Vereinfache

\frac{\frac{1}{s i n ( A )}}{\frac{1}{s i n ( A )} - sin ( A )} : \frac{1}{1 - sin ^{2} ( A )}

\frac{\frac{1}{s i n ( A )}}{\frac{1}{s i n ( A )} - sin ( A )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{sin ( A ) ( \frac{1}{s i n ( A )} - sin ( A ) )}

Füge

\frac{1}{sin ( A )} - sin (A)

zusammen:

\frac{1 - sin ^{2} ( A )}{sin ( A )}

\frac{1}{sin ( A )} - sin (A)

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (A) = \frac{sin ( A ) sin ( A )}{sin ( A )}

= \frac{1}{sin ( A )} - \frac{sin ( A ) sin ( A )}{sin ( A )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( A ) sin ( A )}{sin ( A )}

1 - sin (A) sin (A) = 1 - sin^{2} (A)

1 - sin (A) sin (A)

sin (A) sin (A) = sin^{2} (A)

sin (A) sin (A)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (A) sin (A) = sin^{1 + 1} (A)

= sin^{1 + 1} (A)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (A)

= 1 - sin^{2} (A)

= \frac{1 - sin ^{2} ( A )}{sin ( A )}

= \frac{1}{\frac{- s i n ^{2} ( A ) + 1}{s i n ( A )} sin ( A )}

Multipliziere

sin (A) \frac{1 - sin ^{2} ( A )}{sin ( A )} : 1 - sin^{2} (A)

sin (A) \frac{1 - sin ^{2} ( A )}{sin ( A )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 1 - sin ^{2} ( A ) ) sin ( A )}{sin ( A )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (A)

= 1 - sin^{2} (A)

= \frac{1}{1 - sin ^{2} ( A )}

= \frac{1}{1 - sin ^{2} ( A )}

= \frac{1}{1 - sin ^{2} ( A )}

Manipuliere die rechte Seite

sec^{2} (A)

Drücke mit sin, cos aus

sec^{2} (A)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (\frac{1}{cos ( A )})^{2}

Vereinfache

(\frac{1}{cos ( A )})^{2} : \frac{1}{cos ^{2} ( A )}

(\frac{1}{cos ( A )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( A )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( A )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( A )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( A )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1}{cos ^{2} ( A )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1}{1 - sin ^{2} ( A )}

= \frac{1}{1 - sin ^{2} ( A )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e csc^{4} (x) (cot^{2} (x)) = csc^{4} (x)

p ro v e \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 1 = sec^{2} (x)

p ro v e cos^{2} (x) tan^{2} (2 x) = sin^{2} (x)

p ro v e \frac{sin ( 2 x )}{2} = \frac{tan ( x )}{1 + tan ^{2} ( x )}

p ro v e csc (\frac{π}{12}) = sec (\frac{5 π}{12})