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beweisen (sin^2(x))/(cos^2(x))+1=sec^2(x)

Lösung

beweisen

\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 1 = sec^{2} (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 1 = sec^{2} (x)

Manipuliere die rechte Seite

sec^{2} (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sec^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

= tan^{2} (x) + 1

= tan^{2} (x) + 1

Drücke mit sin, cos aus

1 + tan^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Vereinfache

1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere aus

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} : 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

\frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 1

= 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos^{2} (x) tan^{2} (2 x) = sin^{2} (x)

p ro v e \frac{sin ( 2 x )}{2} = \frac{tan ( x )}{1 + tan ^{2} ( x )}

p ro v e csc (\frac{π}{12}) = sec (\frac{5 π}{12})

p ro v e 1 - \frac{cot ^{2} ( θ )}{csc ^{2} ( θ )} = sin^{2} (θ)

p ro v e csc^{2} (t) tan^{2} (t) - 1 = tan^{2} (t)